ベルトラン・ダルブーの定理 （ベルトラン・ダルブーのていり、Bertrand-Darboux theorem）は、古典力学 において2自由度の系のハミルトン–ヤコビ方程式 の変数分離可能性に関する定理である。この定理によると、系が直交座標、極座標、放物線座標、楕円座標のいずれかで変数分離可能であるとき、またそのときに限り、運動量について2次の運動の積分 が存在し求積可能である。
ハミルトン–ヤコビ理論では、
n
{\displaystyle n}
ハミルトン系 において、ある座標変換
(
x
1
,
⋯ ⋯ -->
,
x
n
)
→ → -->
(
u
1
,
⋯ ⋯ -->
,
u
n
)
{\displaystyle (x_{1},\cdots ,x_{n})\to (u_{1},\cdots ,u_{n})}
ハミルトン–ヤコビ方程式 の完全解を
S
=
∑ ∑ -->
i
=
1
n
S
i
(
u
i
;
α α -->
1
,
⋯ ⋯ -->
,
α α -->
n
)
{\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}S_{i}(u_{i};\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n})}
という形に表示できるとき、この座標
(
u
1
,
⋯ ⋯ -->
,
u
n
)
{\displaystyle (u_{1},\cdots ,u_{n})}
[ 1]
α α -->
i
{\displaystyle \alpha _{i}}
ハミルトニアン （エネルギー ）を取ることができる[ 2] 可積分系 の重要なクラスをなす[ 3]
ベルトラン・ダルブーの定理は、ハミルトニアンが
H
=
1
2
(
p
x
2
+
p
y
2
)
+
V
(
x
,
y
)
{\displaystyle H={\frac {1}{2}}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2})+V(x,y)}
[ 4]
ハミルトニアンと独立な、運動量について2次の運動の積分 が存在する。
ポテンシャル
V
{\displaystyle V}
(
− − -->
2
a
x
y
− − -->
b
′
y
− − -->
b
x
+
c
1
)
(
∂ ∂ -->
2
V
∂ ∂ -->
y
2
− − -->
∂ ∂ -->
2
V
∂ ∂ -->
x
2
)
+
2
(
a
y
2
− − -->
a
x
2
+
b
y
− − -->
b
′
x
+
c
2
)
∂ ∂ -->
2
V
∂ ∂ -->
x
∂ ∂ -->
y
+
(
6
a
y
+
3
b
)
∂ ∂ -->
V
∂ ∂ -->
x
+
(
− − -->
6
a
x
− − -->
3
b
′
)
∂ ∂ -->
V
∂ ∂ -->
y
=
0
{\displaystyle (-2axy-b'y-bx+c_{1})\left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}\right)+2(ay^{2}-ax^{2}+by-b'x+c_{2}){\frac {\partial ^{2}V}{\partial x\partial y}}+(6ay+3b){\frac {\partial V}{\partial x}}+(-6ax-3b'){\frac {\partial V}{\partial y}}=0}
a
,
b
,
b
′
,
c
1
,
c
2
{\displaystyle a,b,b',c_{1},c_{2}}
直交座標 、極座標 、放物線座標 （英語版 ） 楕円座標 のいずれかで変数分離可能である。従ってベルトラン・ダルブーの定理は、運動量について2次の積分によって可積分系となる系は常に変数分離可能であること、そしてそのような分離座標はこれら4つのものしかないことを示している[ 4] [ 5]
本節では4つの分離座標およびそれぞれの場合に変数分離可能なハミルトニアンとその積分について述べる。
ポテンシャル
V
=
U
1
(
x
)
+
U
2
(
y
)
{\displaystyle V=U_{1}(x)+U_{2}(y)}
Φ Φ -->
=
1
2
p
x
2
+
U
1
(
x
)
{\displaystyle \Phi ={\frac {1}{2}}p_{x}^{2}+U_{1}(x)}
[ 6]
極座標
(
r
,
θ θ -->
)
{\displaystyle (r,\theta )}
x
=
r
cos
-->
θ θ -->
{\displaystyle x=r\cos \theta }
y
=
r
sin
-->
θ θ -->
{\displaystyle y=r\sin \theta }
H
=
1
2
(
p
r
2
+
p
θ θ -->
2
r
2
)
+
U
1
(
r
)
+
U
2
(
θ θ -->
)
r
2
{\displaystyle H={\frac {1}{2}}\left(p_{r}^{2}+{\frac {p_{\theta }^{2}}{r^{2}}}\right)+U_{1}(r)+{\frac {U_{2}(\theta )}{r^{2}}}}
の場合に変数分離可能となる。独立な積分は
Φ Φ -->
=
1
2
p
θ θ -->
2
+
U
2
(
θ θ -->
)
{\displaystyle \Phi ={\frac {1}{2}}p_{\theta }^{2}+U_{2}(\theta )}
である[ 7]
ポテンシャル
V
{\displaystyle V}
V
=
1
r
[
U
1
(
r
+
x
2
)
+
U
2
(
r
− − -->
x
2
)
]
{\displaystyle V={\frac {1}{r}}\left[U_{1}\left({\frac {r+x}{2}}\right)+U_{2}\left({\frac {r-x}{2}}\right)\right]}
(
ξ ξ -->
,
η η -->
)
{\displaystyle (\xi ,\eta )}
[ 8]
{
ξ ξ -->
=
(
r
+
x
)
/
2
η η -->
=
(
r
− − -->
x
)
/
2
,
{
x
=
ξ ξ -->
− − -->
η η -->
y
=
2
ξ ξ -->
η η -->
{\displaystyle {\begin{cases}\xi =(r+x)/2\\\eta =(r-x)/2\end{cases}},\ \ {\begin{cases}x=\xi -\eta \\y=2{\sqrt {\xi \eta }}\end{cases}}}
このとき、ハミルトニアンは
H
=
1
2
ξ ξ -->
p
ξ ξ -->
2
+
η η -->
p
η η -->
2
ξ ξ -->
+
η η -->
+
U
1
(
ξ ξ -->
)
+
U
2
(
η η -->
)
ξ ξ -->
+
η η -->
{\displaystyle H={\frac {1}{2}}{\frac {\xi p_{\xi }^{2}+\eta p_{\eta }^{2}}{\xi +\eta }}+{\frac {U_{1}(\xi )+U_{2}(\eta )}{\xi +\eta }}}
という形を取り、独立な積分としては
Φ Φ -->
=
1
2
ξ ξ -->
η η -->
(
p
ξ ξ -->
2
− − -->
p
η η -->
2
)
ξ ξ -->
+
η η -->
+
η η -->
U
1
(
ξ ξ -->
)
− − -->
ξ ξ -->
U
2
(
η η -->
)
ξ ξ -->
+
η η -->
{\displaystyle \Phi ={\frac {1}{2}}{\frac {\xi \eta (p_{\xi }^{2}-p_{\eta }^{2})}{\xi +\eta }}+{\frac {\eta U_{1}(\xi )-\xi U_{2}(\eta )}{\xi +\eta }}}
が取れる[ 9] シュタルク効果 により知られている）[ 8]
Elliptic coordinate system
x
{\displaystyle x}
(
± ± -->
c
,
0
)
{\displaystyle (\pm c,0)}
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
r
1
=
(
x
− − -->
c
)
2
+
y
2
{\displaystyle r_{1}={\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}}
r
2
=
(
x
+
c
)
2
+
y
2
{\displaystyle r_{2}={\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}
V
=
1
r
1
r
2
[
U
1
(
r
2
+
r
1
2
)
+
U
2
(
r
2
− − -->
r
1
2
)
]
{\displaystyle V={\frac {1}{r_{1}r_{2}}}\left[U_{1}\left({\frac {r_{2}+r_{1}}{2}}\right)+U_{2}\left({\frac {r_{2}-r_{1}}{2}}\right)\right]}
により記述される系は楕円座標
(
μ μ -->
,
ν ν -->
)
{\displaystyle (\mu ,\nu )}
[ 10]
μ μ -->
=
r
2
+
r
1
2
,
ν ν -->
=
r
2
− − -->
r
1
2
{\displaystyle \mu ={\frac {r_{2}+r_{1}}{2}},\ \ \nu ={\frac {r_{2}-r_{1}}{2}}}
であり、ハミルトニアンは
H
=
1
2
(
μ μ -->
2
− − -->
c
2
)
p
μ μ -->
2
+
(
c
2
− − -->
ν ν -->
2
)
p
ν ν -->
2
μ μ -->
2
− − -->
ν ν -->
2
+
U
1
(
μ μ -->
)
+
U
2
(
ν ν -->
)
μ μ -->
2
− − -->
ν ν -->
2
,
{\displaystyle H={\frac {1}{2}}{\frac {(\mu ^{2}-c^{2})p_{\mu }^{2}+(c^{2}-\nu ^{2})p_{\nu }^{2}}{\mu ^{2}-\nu ^{2}}}+{\frac {U_{1}(\mu )+U_{2}(\nu )}{\mu ^{2}-\nu ^{2}}},}
独立な積分は
Φ Φ -->
=
1
2
ν ν -->
2
(
μ μ -->
2
− − -->
c
2
)
p
μ μ -->
2
+
μ μ -->
2
(
c
2
− − -->
ν ν -->
2
)
p
ν ν -->
2
μ μ -->
2
− − -->
ν ν -->
2
+
ν ν -->
2
U
1
(
μ μ -->
)
+
μ μ -->
2
U
2
(
ν ν -->
)
μ μ -->
2
− − -->
ν ν -->
2
{\displaystyle \Phi ={\frac {1}{2}}{\frac {\nu ^{2}(\mu ^{2}-c^{2})p_{\mu }^{2}+\mu ^{2}(c^{2}-\nu ^{2})p_{\nu }^{2}}{\mu ^{2}-\nu ^{2}}}+{\frac {\nu ^{2}U_{1}(\mu )+\mu ^{2}U_{2}(\nu )}{\mu ^{2}-\nu ^{2}}}}
である[ 11] 重力2中心問題 が知られている[ 10]
可積分かどうかわからないハミルトニアンに対してベルトラン・ダルブーの定理を適用することにより、その系が変数分離可能であれば運動の積分を求めることができる。例えば4次の同次ポテンシャル
V
=
1
4
(
x
4
+
y
4
)
+
ϵ ϵ -->
2
x
2
y
2
{\displaystyle V={\frac {1}{4}}(x^{4}+y^{4})+{\frac {\epsilon }{2}}x^{2}y^{2}}
の場合、定理の条件2.から
ϵ ϵ -->
=
0
,
1
,
3
{\displaystyle \epsilon =0,1,3}
[ 12]
ϵ ϵ -->
{\displaystyle \epsilon }
[ 13] [ 14] エノン・ハイレス系
H
=
1
2
(
p
x
2
+
p
y
2
+
ω ω -->
1
x
2
+
ω ω -->
2
y
2
)
+
a
x
2
y
− − -->
b
3
y
3
{\displaystyle H={\frac {1}{2}}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+\omega _{1}x^{2}+\omega _{2}y^{2})+ax^{2}y-{\frac {b}{3}}y^{3}}
の
b
=
− − -->
6
a
{\displaystyle b=-6a}
[ 15]
1846年にジョゼフ・リウヴィル は2次元リーマン多様体 上の運動について考察し、ある座標系
(
u
,
v
)
{\displaystyle (u,v)}
H
=
1
2
(
p
u
2
+
p
v
2
)
+
C
(
u
)
+
D
(
v
)
A
(
u
)
+
B
(
v
)
{\displaystyle H={\frac {{\frac {1}{2}}(p_{u}^{2}+p_{v}^{2})+C(u)+D(v)}{A(u)+B(v)}}}
という形を取るならば、その系は求積可能であることを示した[ 16] [ 17] 計量テンソル は
d
s
2
=
{
A
(
u
)
+
B
(
v
)
}
(
d
u
2
+
d
v
2
)
{\displaystyle ds^{2}=\{A(u)+B(v)\}(du^{2}+dv^{2})}
という形を取り、このような系をリウヴィル系として知られている[ 16]
1857年にジョゼフ・ベルトラン は、ハミルトニアン
H
=
1
2
g
i
j
(
q
)
p
i
p
j
+
V
(
q
)
{\displaystyle H={\frac {1}{2}}g^{ij}(\mathbf {q} )p_{i}p_{j}+V(\mathbf {q} )}
により記述される2次元系が運動量について2次の積分を持つならば、ポテンシャル
V
{\displaystyle V}
[ 16] [ 18] ジャン・ガストン・ダルブー は1901年に逆にポテンシャルがベルトランが示した条件を満足するならば第一積分が存在することを証明した[ 19] [ 20]
^ 大貫&吉田, pp. 112-114.
^ 大貫&吉田, p. 113.
^ 大貫&吉田, p. 112.
^ a b 大貫&吉田, p. 121.
^ 大貫&吉田, pp. 124-125.
^ 大貫&吉田, p. 117.
^ 大貫&吉田, pp. 117-118.
^ a b 大貫&吉田, p. 118.
^ 大貫&吉田, pp. 118-119.
^ a b 大貫&吉田, p. 120.
^ 大貫&吉田, pp. 119-120.
^ 大貫&吉田, pp. 122-123.
^ 大貫&吉田, p. 123.
^ 大貫&吉田, pp. 193-194.
^ Wojciechowski, Stefan (1984). “Separability of an integrable case of the Henon-Heiles system”. Physics Letters A 100 (6): 277–278. doi :10.1016/0375-9601(84)90535-8 . ISSN 03759601 . ^ a b c Smirnov, p. 3231.
^ J. Liouville,
“Sur quelques cas particuliers o`u les équations de mouvement dùn point mat´eriel peuvent s’intégrer,” J. Math. Pure Appl., 11, 345–378 (1846)
^ J. M. Bertrand, “Mémoire sur quleuques-unes des forms les plus simples qui puissent présenter les intégrales des équations différentielles du mouvement d'un point matériel,” J. Math. Pure Appl., Sér. II, 2, 113–140 (1857).
^ Smirnov, p. 3232.
^ G. Darboux, “Sur un probléme de mècanique,” Arch. Néerlandaises Sci., 6, 371–376 (1901).
![{\displaystyle V={\frac {1}{r}}\left[U_{1}\left({\frac {r+x}{2}}\right)+U_{2}\left({\frac {r-x}{2}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f3be36608d83fd76b1eef1014a81cb5a47b6663)
![{\displaystyle V={\frac {1}{r_{1}r_{2}}}\left[U_{1}\left({\frac {r_{2}+r_{1}}{2}}\right)+U_{2}\left({\frac {r_{2}-r_{1}}{2}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efd94bd1231f2010910bcb86ecc21c0144631080)
