ヒルベルト・プログラム

ヒルベルト・プログラムとは、ダフィット・ヒルベルトによって提唱された、数学を形式化しようとする試みのことをいう。ヒルベルト計画とも呼ばれる。

概要

ヒルベルトは、その証明を形式化することで、数学全体の完全性と無矛盾性を示そうと考えた。具体的には、

  1. 数学において真である命題は必ず証明できること
  2. 公理から形式化された推論をどれだけ行っても、矛盾が示されることは絶対にないということ

という事実を、有限の立場と呼ばれる確かな方法を用いて証明しようとする計画である。有名なヒルベルトの23の問題の2番目で、実数論の無矛盾性の証明を挙げている（よく自然数論の無矛盾性をさすものと誤解されている）。

1900年をはさんだ数年間に、数学の一部である集合論においていくつもの矛盾（パラドックスと呼ばれる。集合論の項を参照）が発見された。ヒルベルト・プログラムは、単にその矛盾を取り除く（＝無矛盾性）だけではなく、今後二度とこのような矛盾が現われないように、数学全体に確固とした基盤（＝完全性）を与える目的があった。

この計画は、1930年にクルト・ゲーデルが発表した不完全性定理により深刻な影響を受けた。とりわけ「自然数論を含む帰納的に記述できる公理系が、無矛盾であれば自身の無矛盾性を証明できない（第2不完全性定理）」は、有限な立場のみではあらゆる公理系の無矛盾性を証明できないとするもので、ヒルベルト・プログラムでは自然数論だけでなく、実数論、さらには集合論全体の無矛盾性をも、自然数論のような基本的な体系の上で示すことを目的としていたため、この定理によって大きな修正を迫られることになった。

ただしヒルベルト・プログラムは否定されたわけではなく、現在でも研究が続けられている。

→「不完全性定理が成立しない体系」および「ゲーデルの完全性定理」も参照

自然数論の無矛盾性については、1934年にゲルハルト・ゲンツェンによって、証明の正規化（カット除去定理）を用いることによって示されたとされた。しかしこの方法では、証明の正規化手続きの終了性がε0までの超限帰納法によってなされている。この証明方法の正しさは、ヒルベルトのような「有限の立場」に立っていると主張する研究者が、手続きが実行可能である点をその根拠としているが、ε0までの超限帰納法が「有限の立場」で正当な原理であるかは議論の余地がある。

実数論に関しては、ゲーデルに師事した竹内外史により、1954年に高階述語論理における証明の正規化によって無矛盾性が証明されることが示されており、さらに後にDag Prawitzおよび高橋元男によって、任意の証明に対してその正規化が存在することが示されている。しかしこの場合も証明の正規化手続き自体が知られているわけではないので、存在する事実だけでは有限の立場とはみなされない。

関連項目

外部リンク

Read other articles:

Lampung (daerah pemilihan)

LampungBekas Daerah Pemilihan / Daerah pemilihanuntuk Dewan Perwakilan RakyatRepublik IndonesiaWilayahSeluruh wilayah LampungDaerah pemilihan bekasDibentuk1971Dibubarkan2004Anggota7 (1971—77)8 (1977—87)10 (1987—92)11 (1992—1999)15 (1999—2004)Digantikan olehLampung ILampung IIDibentuk dariTidak ada, daerah pemilihan baru Lampung adalah sebuah provinsi yang dulunya merupakan daerah pemilihan umum legislatif, kini menjadi wilayah pemilihan umum Presiden Indonesia. Pada masanya, daerah ...

 

Abolhassan Banisadr

Abolhassan Banisadrابوالحسن بنی‌صدرBanisadr pada 1980 Presiden Iran ke–1Masa jabatan5 Februari 1980 – 22 Juni 1981Pemimpin AgungRuhollah KhomeiniPerdana MenteriMohammad Ali Rajai PendahuluJabatan baruPenggantiMohammad Ali RajaiKetua Dewan Revolusi IslamMasa jabatan7 Februari 1980[1] – 20 Juli 1980 PendahuluMohammad Beheshti[1]PenggantiJabatan dihapuskanMenteri Luar NegeriPenjabatMasa jabatan12 November 1979 – 29 ...

 

Pemilihan umum Bupati Pegunungan Arfak 2020

Pemilihan Umum Bupati Pegunungan Arfak 2020201520249 Desember 2020[1]Kandidat   Calon Yosias Saroy Kotak Kosong Partai NasDem Pendamping Marinus Mandacan Peta persebaran suara Peta Papua Barat yang menyoroti Kabupaten Pegunungan Arfak Bupati dan Wakil Bupati petahanaYosias Saroy danMarinus Mandacan Partai Persatuan Pembangunan Bupati dan Wakil Bupati terpilih Belum Diketahui Pemilihan Umum Bupati Pegunungan Arfak 2020 akan dilaksanakan pada 9 Desember 2020 untuk memilih Bupati P...

Crewe Alexandra F.C.

Crewe AlexandraNama lengkapCrewe Alexandra Football ClubJulukanThe Railwaymen, The AlexBerdiri1877; 146 tahun lalu (1877) (sebagai Crewe)StadionThe Mornflake StadiumCrewe(Kapasitas: 11,153)KetuaJohn BowlerManajerLee BellLigaLiga Dua Inggris 2013–14ke-1, Liga Satu InggrisSitus webSitus web resmi klub Kostum kandang Kostum tandang Musim ini Crewe Alexandra Football Club adalah sebuah klub sepak bola profesional asal Inggris yang berbasis di Crewe, Cheshire. Dijuluki The Railwaymen k...

 

Nicolás Bravo

Pour les articles homonymes, voir Bravo. Nicolás Bravo Fonctions 5e président de la République centraliste du Mexique 24 juillet 1846 – 4 août 1846 (11 jours) Prédécesseur Mariano Paredes y Arrillaga Successeur José Mariano Salas Vice-président du Mexique 2 janvier – 24 juillet 1846(6 mois et 22 jours) Président Mariano Paredes y Arrillaga Prédécesseur Valentín Gómez Farías Successeur Valentín Gómez Farías 10 octobre 1824 – 1er avril 1829(4 ans, 5&#...

 

Koridor 7 Transjakarta

Koridor 7 TransjakartaKampung Rambutan - Kampung MelayuArmada bus Hino RK8 yang melayani koridor 7 saat tiba di halte Cawang CililitanInfoPemilikPT. Transportasi JakartaWilayahJakarta TimurJenisStreet-level Bus Rapid TransitJumlah stasiun14 halteOperasiDimulai27 Januari 2007Operator PT. Transportasi Jakarta (prasarana dan petugas) Perum DAMRI (armada dan pramudi) Mayasari Bakti (armada dan pramudi) Bianglala Metropolitan (armada dan pramudi) TeknisPanjang sistem12.57 kmKecepatan tertinggi50 k...

Feedlot

Usaha penggemukan sapi potong di Texas Feedlot adalah tempat penggemukan hewan ternak yang menerapkan peternakan intensif. Di tempat ini, hewan-hewan tersebut diberi pakan dengan formulasi tertentu dan selama periode waktu tertentu untuk mempercepat pertambahan bobot badan mereka.[1] Feedlot biasanya merujuk penggemukan sapi potong dengan populasi ribuan ekor sapi yang ditempatkan dalam kandang-kandang yang disebut pen. Usaha feedlot memerlukan ahli manajemen peternakan, nutrisionis h...

 

SS Sangola

Merchant steamship built in the UK in 1901 History Name 1901: Sangola 1923: Goshu Maru Owner 1901: British India SN Co 1923: Fukuhara Kisen KK Port of registry 1901: Glasgow 1923: Dairen BuilderWilliam Denny & Bros, Dumbarton Cost£89,420 Yard number647 Launched18 June 1901 Completed16 August 1901 Identification UK official number 113974 1901: code letters SNCG 1923: code letters QBSN Fatescrapped 1933 General characteristics Class and typeS class cargo liner Tonnage5,149 GRT, 3,323&...

 

Miss Grand Netherlands

National beauty pageant in Netherlands Miss Grand NetherlandsEstablished5 June 2016; 7 years ago (2016-06-05)(As Miss Grand Netherlands pageant)FounderRobin & Stefan Hoven – Lieuw ChoyTypeBeauty pageantHeadquartersAalsmeerLocationNetherlandsMembership Miss Grand InternationalOfficial language Dutch and EnglishPresidentRobin Hoven – Lieuw ChoyParent organization12 Months of Beauty (2013 – Present)Website12MonthsOfBeauty.nl Miss Grand Netherlands is a Dutch...

Stadion Al Janoub

Stadion Al Janoubملعب الجنوبLokasiAl-Wakrah, QatarKoordinat25°09′35.2″N 51°34′26.7″E / 25.159778°N 51.574083°E / 25.159778; 51.574083PemilikAsosiasi Sepak Bola QatarKapasitas40,000[1]Ukuran lapangan105 x 68 mPermukaanRumputKonstruksiMulai pembangunan2014; 10 tahun lalu (2014)Didirikan2014–2019Dibuka16 Mei 2019; 4 tahun lalu (2019-05-16)[2]ArsitekZaha HadidKontraktor utamaMidmac Contracting Co. Six Construct Qatar Porr Q...

 

Étrez

ÉtrezÉtrez Lokasi di Region Auvergne-Rhône-Alpes Étrez Koordinat: 46°20′06″N 5°11′08″E / 46.3350°N 5.1856°E / 46.3350; 5.1856NegaraPrancisRegionAuvergne-Rhône-AlpesDepartemenAinArondisemenBourg-en-BresseKantonMontrevel-en-BressePemerintahan • Wali kota (2008–2014) Jean-Louis PeltierLuas • Land112,15 km2 (469 sq mi) • Populasi2786 • Kepadatan Populasi20,65/km2 (1,7/sq mi)Kode INSEE/po...

 

Le Mans University

Public university in western France Le Mans UniversityLe Mans UniversitéLe Mans campusTypePublicEstablished1977: Université du Maine 2017 (renamed): Le Mans UniversitéBudget€96 millionPresidentPascal LerouxAcademic staff1,100[1]Students13,000[1]LocationLaval & Le Mans, Pays de la Loire, FranceAffiliationsAUF, ComUE Angers-Le Mans, EUAWebsiteuniv-lemans.fr University library on the Le Mans campus Le Mans University (French: Le Mans Université; formerly Université du ...

Mutual assured destruction

Doctrine of military strategy Mutually assured destruction and Mutual annihilation redirect here. For the episode of The Americans, see Mutually Assured Destruction (The Americans). For particle–antiparticle annihilation, see Annihilation. Part of a series onWarOutline History Prehistoric Ancient Post-classical castles Early modern pike and shot napoleonic Late modern industrial fourth-gen Military Organization Command and control Defense ministry Army Navy Air force Marines Coast guard Spa...

 

Seluncur papan

Halaman ini berisi artikel tentang olahraga. Untuk alat, lihat Papan luncur. Seluncur papan di Museum Fatahillah, Jakarta. Luncur papan adalah tindakan menaiki dan melakukan gerakan dengan menggunakan papan luncur. Orang yang menaiki papan seluncur disebut sebagai pemain papan seluncur, skateboarder atau skater. Luncur papan dapat menjadi kegiatan main-main, seni, pekerjaan atau sebagai sarana angkut.[1] Lihat pula Seluncur salju Seluncur es Referensi ^ Ocean Howell, Topic Magazine. E...

 

Kemal Munir

Kemal MunirNazionalità Egitto Lotta Specialitàlotta greco-romana CategoriaPesi welter SquadraTersana Al-Jizah CarrieraNazionale Egitto Statistiche aggiornate al 30 gennaio 2022 Modifica dati su Wikidata · Manuale Kemal Muni (in arabo كمال منير‎?; Il Cairo, ... – ...; fl. XX secolo) è stato un lottatore egiziano, specializzato nello stile greco-romano. Biografia Ha rappresentato l'Egitto ai Giochi olimpici estivi di Londra 1948 nel torneo dei pesi welter ...

Pemilihan Paus September 1276

Pemilihan Paus September 1276 adalah satu-satunya pemilihan Paus dari tiga pemilihan pada tahun yang sama. Pemilihan ini juga merupakan pemilihan non-konklaf pertama, sejak pengesahan konklaf setelah Pemilihan Paus 1268–1271.[1] Pemilihan Yohanes XXI Palazzo dei Papi di Viterbo Paus Adrianus V wafat pada 18 Agustus 1276, di Viterbo Catatan ^ Miranda, Salvator. 1998. Election of August 19 - September 8, 1276: (John XXI). Daftar pustaka Richard Stapper, Papst Johannes XXI, Kirchengesc...

 

Leith Hill Musical Festival

Chroal festival in Dorking, England This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Leith Hill Musical Festival – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (April 2017) (Learn how and when to remove this message) Leith Hill Musical FestivalChoirFormer nameLeith Hill Musical Competition (until 1950)[1&#...

 

Pljeskavica

Traditional Balkan meat dish PljeskavicaPljeskavica with sidesCourseMain coursePlace of originSerbiaRegion or stateBalkansServing temperatureHotMain ingredientsTwo or more of beef, lamb, pork, veal; onions, sometimes bread crumbs and lard  Media: Pljeskavica Pljeskavica (Serbian Cyrillic: пљескавица, pronounced [pʎɛ̂skaʋitsa]) is a Serbian grilled dish consisting of a mixture of spiced minced pork, beef and lamb meat.[1] It is one of the national dishes ...

上海地理

上海市卫星图像 上海佘山 上海位于北纬31度14分，东经121度29分。正当中国海岸线中心点，守长江口。处长江三角洲冲积平原前缘，东濒东海，北界长江，南临杭州湾，西与江苏省和浙江省接壤。全市南北最长处约120公里，东西最宽处约100公里。上海人將前上海公共租界和上海法租界以及週邊地區（静安、黄浦、卢湾等）稱為上只角，滚地龙和棚户区密集的闸北、普陀等地稱...

 

NHS Nightingale Hospital Yorkshire and the Humber

This article is about the NHS temporary COVID-19 hospital in Harrogate Convention Centre. For other hospitals named NHS Nightingale, see NHS Nightingale Hospitals. For other hospitals named Nightingale, see Nightingale Hospital (disambiguation). Temporary NHS COVID-19 hospital set up in Harrogate Convention Centre Hospital in Harrogate, YorkshireNHS Nightingale Hospital Yorkshire and the HumberLeeds Teaching Hospitals NHS TrustView of the Harrogate Convention Centre in July 2020GeographyLocat...