In matematica, e in particolare in teoria degli insiemi, esiste un'operazione detta unione (simbolo ∪ ∪ --> {\displaystyle \cup } ) di insiemi. Il simbolo ∪ ∪ --> {\displaystyle \cup } deriva da U, l'iniziale della parola "unione".[1] Dati due insiemi A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} , la loro unione è un insieme formato da tutti e soli gli elementi che appartengono:
L'unione è un'operazione binaria. Nell'algebra booleana corrisponde all'operatore OR; in logica, corrisponde alla disgiunzione inclusiva.
L'unione di due insiemi A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} si denota comunemente con A ∪ ∪ --> B {\displaystyle A\cup B} . Si ha che x {\displaystyle x} è un elemento di A ∪ ∪ --> B {\displaystyle A\cup B} se e solo se x {\displaystyle x} è un elemento di almeno uno degli insiemi A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} , in simboli:
L'unione di due o più insiemi è detta disgiunta se gli insiemi, presi a due a due, hanno intersezione vuota. In generale, data un'arbitraria famiglia { A α α --> , α α --> ∈ ∈ --> I } {\displaystyle \{A_{\alpha },\,\alpha \in {\mathcal {I}}\}} di insiemi, l'unione è definita come l'insieme ⋃ ⋃ --> α α --> ∈ ∈ --> I A α α --> {\displaystyle \displaystyle \bigcup _{\alpha \in {\mathcal {I}}}A_{\alpha }} a cui un elemento x {\displaystyle x} appartiene se e solo se appartiene ad almeno uno degli A α α --> {\displaystyle A_{\alpha }} .
Ad esempio si possono considerare due insiemi finiti, un insieme con un numero finito di elementi: A = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle A=\{1,2,3\}} e B = { 2 , 3 , 4 } {\displaystyle B=\{2,3,4\}} . In questo caso si ottiene l'unione prendendo gli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi:
Un altro esempio è dato da due insiemi definiti mediante una proprietà dei loro elementi: Siano:
A ∪ ∪ --> B {\displaystyle A\cup B} è l'insieme dei numeri interi divisibili per 4 {\displaystyle 4} e/o per 6 {\displaystyle 6} .
L'unione è un'operazione commutativa, in simboli:
Infatti
L'unione è un'operazione associativa:
Per questo si può rinunciare alle parentesi quando si considera l'unione di più di due insiemi, scrivendo A ∪ ∪ --> B ∪ ∪ --> C . {\displaystyle A\cup B\cup C.}
Il simbolo ∪, così come ad esempio anche i simboli ∈, ∩, ⊂, venne introdotto per la prima volta da Giuseppe Peano nel Formulario mathematico, opera pubblicata nel 1895.
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