In algebra lineare, si definisce traccia di una matrice quadrata la somma di tutti gli elementi della sua diagonale principale.

Nel caso di endomorfismi di uno spazio vettoriale, è possibile definire la traccia di un endomorfismo considerando la traccia della sua matrice associata rispetto ad una qualsiasi base dello spazio. Poiché la traccia è invariante per similitudine, questo valore non dipende dalla base scelta.

Si definisce traccia ${\displaystyle \operatorname {tr} (A)}$ di una matrice ${\displaystyle A}$ la somma di tutti gli elementi sulla sua diagonale principale:

${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}}$

dove ${\displaystyle a_{ii}}$ rappresenta l'elemento posto sulla ${\displaystyle i}$-esima riga e ${\displaystyle i}$-esima colonna di ${\displaystyle A}$.

Dalla definizione segue che una matrice hermitiana ha traccia reale in quanto i suoi elementi sulla diagonale principale sono reali. D'altro canto, una matrice antisimmetrica a valori in un campo con caratteristica diversa da ${\displaystyle 2}$ ha traccia nulla, poiché tutti gli elementi sulla diagonale principale sono nulli.

L'insieme delle matrici la cui traccia è nulla è inoltre uno spazio vettoriale.

Tra le proprietà più immediate della traccia vi sono le seguenti:

• Calcolare la traccia è una trasformazione lineare:

${\displaystyle \operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)}$

${\displaystyle \operatorname {tr} (cA)=c(\operatorname {tr} (A))}$

• Una matrice ${\displaystyle A}$ e la sua trasposta ${\displaystyle A^{T}}$ hanno la stessa traccia:

${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} \left(A^{T}\right)}$

come si nota dal fatto che la trasposta rappresenta la rotazione degli elementi della matrice rispetto alla diagonale, la quale rappresenta un'invariante di tale trasformazione.

• Data la matrice identità ${\displaystyle I_{n}}$, la traccia è la dimensione dello spazio, ovvero ${\displaystyle \operatorname {tr} (I_{n})=n}$. La traccia di una matrice idempotente ${\displaystyle A}$ (tale per cui ${\displaystyle A^{2}=A}$) è il rango di ${\displaystyle A}$, mentre la traccia della matrice nilpotente è zero.
• Se ${\displaystyle A}$ è una matrice simmetrica e ${\displaystyle B}$ è una matrice antisimmetrica, allora:

${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=0}$

• Data una matrice ${\displaystyle A}$ di dimensione ${\displaystyle m\times n}$ e una seconda matrice ${\displaystyle B}$ di dimensione ${\displaystyle n\times m}$, si ha:

${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)}$

Si tratta di una conseguenza immediata del procedimento di moltiplicazione di matrici, infatti:

${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\sum _{i=1}^{m}\left(AB\right)_{ii}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{m}B_{ji}A_{ij}=\sum _{j=1}^{n}\left(BA\right)_{jj}=\operatorname {tr} (BA)}$

La traccia è cioè invariante rispetto ad una permutazione ciclica:

${\displaystyle \operatorname {tr} (ABCD)=\operatorname {tr} (BCDA)=\operatorname {tr} (CDAB)=\operatorname {tr} (DABC)}$

Si nota che una generica permutazione non è consentita:

${\displaystyle \operatorname {tr} (ABC)\neq \operatorname {tr} (ACB)}$

La traccia di un prodotto può essere scritta come una somma del tipo:

${\displaystyle \operatorname {tr} (X^{\mathrm {T} }Y)=\operatorname {tr} (XY^{\mathrm {T} })=\operatorname {tr} (Y^{\mathrm {T} }X)=\operatorname {tr} (YX^{\mathrm {T} })=\sum _{i,j}X_{ij}Y_{ij}}$

in cui si nota la somiglianza con il prodotto interno tra vettori.

• La traccia è invariante per similitudine, ovvero due matrici simili hanno la stessa traccia:

${\displaystyle \operatorname {tr} (M^{-1}AM)=\operatorname {tr} ((M^{-1}A)M)=\operatorname {tr} (M(M^{-1}A))=\operatorname {tr} ((MM^{-1})A)=\operatorname {tr} (A)\ }$

• Data una matrice ${\displaystyle A}$ di dimensione ${\displaystyle m\times n}$ e una seconda matrice ${\displaystyle B}$ di dimensione ${\displaystyle m\times n}$, si ha:

${\displaystyle {\frac {\partial (\operatorname {tr} (AB^{T}))}{\partial B}}=A}$

La traccia è, a meno di segno, il coefficiente di ${\displaystyle x^{n-1}}$ nel polinomio caratteristico di una matrice. La traccia inoltre è pari alla somma degli autovalori della matrice, in quanto una matrice è sempre simile ad una forma canonica di Jordan, una matrice triangolare superiore che ha anch'essa gli autovalori ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$ sulla diagonale principale.

Nel caso di una matrice diagonalizzabile, in particolare, questo segue dall'invarianza per similitudine, e dal fatto che una matrice diagonale ha i suoi autovalori sulla diagonale.

In una matrice quadrata di ordine due gli autovalori dipendono solo dalla traccia e dal determinante della matrice, poiché in tal caso il polinomio caratteristico è dato da:

${\displaystyle \lambda ^{2}-\mathrm {tr} (A)\lambda +\mathrm {det} (A)}$

La traccia corrisponde alla derivata del determinante. Se ${\displaystyle A}$ è una funzione differenziabile da ${\displaystyle \mathbb {R} }$ allo spazio delle matrici di dimensione n:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\det A(t)=\mathrm {tr} \left(\mathrm {adj} (A(t))\,{\frac {dA(t)}{dt}}\right)}$

dove ${\displaystyle \mathrm {adj} A}$ è la matrice aggiunta di ${\displaystyle A}$. Si tratta della formula di Jacobi.

Per una matrice ${\displaystyle A}$ di dimensione ${\displaystyle m\times n}$ con entrate reali o complesse, indicando con l'asterisco la trasposta complessa coniugata si ha:

${\displaystyle \operatorname {tr} (A^{*}A)\geq 0}$

dove vale l'uguaglianza se e solo se ${\displaystyle A=0}$. L'assegnazione:

${\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {tr} (B^{*}A)}$

definisce un prodotto interno sullo spazio delle matrici ${\displaystyle m\times n}$ (reali o complesse). La norma indotta da tale prodotto interno è detta norma di Frobenius.

Segue che se ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ sono semi-definite positive e hanno la stessa dimensione, allora:

${\displaystyle 0\leq \operatorname {tr} (AB)^{2}\leq \operatorname {tr} (A^{2})\operatorname {tr} (B^{2})\leq \operatorname {tr} (A)^{2}\operatorname {tr} (B)^{2}}$

come si può dimostrare utilizzando la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.

Nel caso di operatori compatti in spazi di Hilbert si introduce la nozione di operatore di classe traccia.

Se ${\displaystyle A}$ è un'algebra associativa su un campo ${\displaystyle k}$ allora la traccia di ${\displaystyle A}$ è spesso anche definita come una generica mappa ${\displaystyle tr:A\to k}$ che annulla il commutatore ${\displaystyle tr([a,b])=0}$ per ogni coppia ${\displaystyle a,b\in A}$. Si tratta di una traccia definita a meno della moltiplicazione per uno scalare non nullo.

Una supertraccia è una generalizzazione della traccia nell'ambito della teoria delle superalgebre.

L'operazione di contrazione di un tensore generalizza la traccia al caso di generici tensori.

Lo stesso argomento in dettaglio: Classe traccia.

Sia dato un operatore lineare limitato ${\displaystyle A}$ su uno spazio di Hilbert separabile ${\displaystyle H}$. Data una base ortonormale ${\displaystyle \{\phi _{n}\}}$ di ${\displaystyle H}$, si definisce traccia di ${\displaystyle A}$ il numero:^[1]

${\displaystyle {\rm {Tr}}A:=\sum _{n}^{\infty }\langle A\phi _{n},\phi _{n}\rangle }$

${\displaystyle A}$ è detto di classe traccia se la traccia del suo modulo è finita, ovvero se la somma precedente è assolutamente convergente e indipendente dalla scelta della base.^[2]

${\displaystyle {\rm {Tr}}|A|<\infty \ }$

La traccia di un operatore può essere scritta in modo equivalente come la somma di termini positivi:

${\displaystyle \|A\|_{1}={\rm {Tr}}|A|:=\sum _{k}\langle (A^{*}A)^{1/2}\,e_{k},e_{k}\rangle }$

Si tratta di un funzionale lineare sullo spazio degli operatori di classe traccia. Se ${\displaystyle H}$ ha dimensione finita, ogni operatore è di classe traccia e la precedente somma è equivalente alla definizione di traccia di una matrice.

Un operatore ${\displaystyle A}$ non negativo e autoaggiunto è di classe traccia se:

${\displaystyle {\rm {Tr}}(A)<\infty \ }$

Inoltre, un operatore autoaggiunto è di classe traccia se lo sono la sua parte positiva ${\displaystyle A^{+}}$ e negativa ${\displaystyle A^{-}}$.

In tale contesto l'analogo della norma di Frobenius è detto norma di Hilbert–Schmidt.

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}3&0&1\\0&4&5\\0&1&2\end{pmatrix}}\Rightarrow {\mbox{tr}}(A)=3+4+2=9.\,\!}$

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}3&0&1\\0&4&5\\0&1&-7\end{pmatrix}}\Rightarrow {\mbox{tr}}(B)=3+4+(-7)=0.\,\!}$

• (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
• (EN) N. Jacobson, Basic algebra , 1 , Freeman (1985)
• (EN) S. Lang, Algebra , Addison-Wesley (1965)
• (EN) P.M. Cohn, Algebra, 1, Wiley (1982) pp. 336
• (EN) F.R. Gantmacher, The theory of matrices, 1, Chelsea, reprint (1959)

• Autovettore e autovalore
• Classe traccia
• Determinante
• Diagonale principale
• Matrice quadrata
• Polinomio caratteristico
• Supertraccia
• Traccia parziale

• (EN) D.A. Suprunenko, Trace of a square matrix, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) L.V. Kuz'min, Trace, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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