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Il Test di McNemar è un test non parametrico che si applica a tabelle di frequenza 2 x 2. Viene generalmente impiegato per verificare l'esistenza di differenze in dati dicotomici (presenza/assenza; positivo/negativo) prima e dopo un certo cambio o evento o trattamento (ovvero per valutare l'efficacia di quel trattamento), qualora siano disponibili dati sotto forma di frequenze. Il test vuole determinare se le frequenze marginali di riga e colonna sono uguali.

Per la stessa analisi si può utilizzare il test binomiale, ma il Test di McNemar è più agevole e snello.

Descrizione del test

Consideriamo ad esempio il caso di $n=200$ persone che vengono classificate positive e negative prima di un trattamento, poi vengono trattate e successivamente ri-classificate in positive e negative (così da vedere quelle che sono passate da positive a negative, e viceversa.

Se prima del trattamento avevo:

120 persone positive
80 persone negative

e, dopo il trattamento:

30 delle 120 persone positive sono diventate negative (hanno cambiato)
20 delle 80 persone negative sono diventate positive (hanno cambiato)

allora posso costruire la seguente tabella 2 x 2:

	dopo è +	dopo è -	TOT
prima del trattamento era positivo:	90	30	120
prima del trattamento era negativo:	20	60	80
TOT	110	90	200

Le celle possono essere identificate dalle lettere: a, b, c e d. I totali di riga e colonna vengono detti frequenze marginali. Il totale delle frequenze viene indicato con $n$ .

	dopo è +	dopo è -	TOT
prima del trattamento era positivo:	a	b	a+b
prima del trattamento era negativo:	c	d	c+d
TOT	a+c	b+d	n

Il Test di McNemar verifica l'ipotesi:

H_{0}

: le frequenze marginali sono uguali.

Questo accade quando:

(a+b)=(a+c)

(c+d)=(b+d)

ovvero quando:

b=c

La statistica test di McNemar è la seguente:

\chi ^{2}={\frac {(b-c)^{2}}{(b+c)}}

Sotto l'ipotesi $H_{0}$ , $\chi ^{2}$ è una Chi quadrato con 1 grado di libertà. La formula è bene venga corretta con la correzione di continuità di Yates, in quanto il Chi quadrato è una distribuzione continua, mentre quella campionaria è discreta. E, soprattutto quando le frequenze sono piccole, l'approssimazione può essere scarsa.

\chi ^{2}={\frac {(|b-c|-1)^{2}}{(b+c)}}

Si rifiuta l'ipotesi $H_{0}$ (ovvero le frequenze marginali non sono omogenee), se il $\chi ^{2}$ è significativo (ovvero se il valore p è $p<0.05$ ).

Per frequenze basse $b+c<10$ è opportuno usare il test binomiale.

Esempio

Nei laboratori di microbiologia viene impiegato per confrontare due metodi qualitativi (generalmente un metodo di riferimento, ed un metodo nuovo) attraverso prove su campioni a valore noto (contaminati sperimentalmente in laboratorio).

Dapprima $n$ campioni vengono contaminati artificialmente, in modo che risultino positivi o negativi con il metodo di riferimento. Dopodiché vengono esaminati con il metodo nuovo. I casi discordanti sono i seguenti:

i campioni che con il metodo di riferimento erano classificati come positivi e con il metodo nuovo vengono classificati ancora come positivi indichiamoli con: PP.

i campioni che con il metodo di riferimento erano classificati come negativi e con il metodo nuovo vengono classificati ancora come negativi indichiamoli con: NN.

i campioni che con il metodo di riferimento erano classificati come negativi e con il metodo nuovo vengono classificati positivi vengono detti: Falsi Positivi, definiamoli pari a FP.

i campioni che con il metodo di riferimento erano classificati come positivi e con il metodo nuovo vengono classificati negativi vengono detti: Falsi Negativi, definiamoli pari a FN.

Possiamo allora scrivere i dati con la seguente tabella:

	con metodo 2 è +	con metodo 2 è -	TOT
con il metodo vecchio era positivo:	PP	FN	PP+FN
con il metodo vecchio era negativo:	FP	NN	FP+NN
TOT	PP+FP	FN+NN	N

dove N=PP+FP+FN+NN=numerosità dei campioni.

Il test di McNemar vuole testare l'ipotesi che:

il numero totale di positivi con il primo metodo = PP+FN sia pari al numero totale di positivi con il secondo metodo = PP+FP

ovvero PP+FN = PP+FP

e

il numero totale di negativi con il primo metodo = FP+NN sia pari al numero totale di negativi con il secondo metodo = FN+NN

ovvero FP+NN = FN+NN

entrambe le condizioni si riassumono con l'ipotesi:

H_{0}

: FN=FP.

L'espressione per il test di McNemar è la seguente:

\chi ^{2}={\frac {(|FP-FN|-1)^{2}}{(FP+FN)}}

Per valori alti di $\chi ^{2}$ il metodo nuovo non risulta idoneo, ovvero la differenza fra falsi positivi e falsi negativi è troppo pronunciata e dunque non è dovuta al caso.

N.b. nei laboratori di microbiologia viene applicato solo quando $FP+FN>22$ .