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Il teorema della media pesata è una generalizzazione del teorema della media integrale. L'idea è analoga a quella del teorema della media con la differenza che la misura del dominio di integrazione ${\displaystyle [a,b]}$ è distribuita in un modo non uniforme regolato da una funzione continua che ne stabilisce la densità in ogni punto.

Siano ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ due funzioni continue in un intervallo ${\displaystyle [a,b]}$ e sia ${\displaystyle g(x)}$ di segno costante in ${\displaystyle [a,b]}$ (sempre positiva o sempre negativa nell'intervallo). Allora esiste un punto ${\displaystyle c\in [a,b]}$ tale che ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(c)\int _{a}^{b}g(x)dx}$.

Si può sfruttare il teorema di Weierstrass in quanto f è continua. Allora esistono un ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle M}$ tali che ${\displaystyle m\leq f(x)\leq M}$. Si prenda ${\displaystyle g(x)\geq 0}$, quindi ${\displaystyle mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x)}$. Usando il teorema del confronto e la linearità degli integrali si ottiene ${\displaystyle m\int _{a}^{b}g(x)dx\leq \int _{a}^{b}f(x)g(x)dx\leq M\int _{a}^{b}g(x)dx}$; dividendo per l'integrale stesso si ottiene ${\displaystyle m\leq {\frac {\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx}{\int _{a}^{b}g(x)dx}}\leq M}$ e per il teorema dei valori intermedi il valore al centro di questa catena di diseguaglianze dovrà essere uguale ad ${\displaystyle f(c)}$ per qualche ${\displaystyle c\in [a,b]}$.${\displaystyle \square }$

• Integrale
• Teorema della media integrale
• Valore atteso

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