Partecipò a due campionati sovietici, classificandosi 21º nel 1971 e 14º nel 1972.
Nel 1976 emigrò in Israele e dopo tre anni si trasferì negli Stati Uniti a New York. Attualmente vive a Boston.
Prese parte a tre olimpiadi degli scacchi: nel 1976 e 1978 con Israele e nel 1984 con gli Stati Uniti. Alle olimpiadi di Salonicco 1984, giocando in prima scacchiera, vinse la medaglia di bronzo di squadra.
Dzindzichashvili è noto come un grande esperto della teoria delle aperture. La cosiddetta "difesa Dzindzi-indiana" ( 1.d4 g6 2.c4 Ag7 3.Cc3 c5 3.d5 Axc3 4.bxc3 f5 ) porta il suo nome. È autore di una serie di DVD di grande successo, chiamati Roman's Lab.