In matematica, la regola di Pascal (o formula di Pascal) è un'identità combinatoria sui coefficienti binomiali. I coefficienti binomiali sono i numeri che compaiono nel triangolo di Tartaglia (noto anche come triangolo di Pascal). La regola di Pascal afferma che, per ogni coppia di interi positivi ${\displaystyle n}$ e ${\displaystyle k}$, $${\displaystyle {\binom {n-1}{k}}+{\binom {n-1}{k-1}}={\binom {n}{k}},}$$ dove ${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$ è il coefficiente binomiale, cioè il coefficiente del termine ${\displaystyle x^{k}}$ nello sviluppo del polinomio ${\displaystyle (1+x)^{n}}$. Non ci sono restrizioni sulle grandezze relative di ${\displaystyle n}$ e ${\displaystyle k}$;^[1] in particolare, la suddetta identità rimane valida quando ${\displaystyle n<k}$, poiché ${\displaystyle {\binom {n}{k}}=0}$ ogni volta che ${\displaystyle n<k}$.

Insieme alle condizioni al contorno ${\displaystyle {\binom {n}{0}}={\binom {n}{n}}=1}$ per tutti gli interi non negativi ${\displaystyle n}$, la regola di Pascal determina che $${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}},}$$ per tutti gli interi ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$. In questo senso, la regola di Pascal è la relazione di ricorrenza che definisce i coefficienti binomiali.

La regola di Pascal può anche essere generalizzata per essere applicata ai coefficienti multinomiali.

La regola di Pascal ha un significato combinatorio intuitivo, che è chiaramente espresso in questa dimostrazione per conteggio.^[2]

Dimostrazione. Si ricordi che ${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$ è pari al numero di sottoinsiemi di ${\displaystyle k}$ elementi estratti da un insieme di ${\displaystyle n}$ elementi. Supponiamo che un particolare elemento sia etichettato in modo univoco con ${\displaystyle X}$ in un insieme di ${\displaystyle n}$ elementi.

Per costruire un sottoinsieme di ${\displaystyle k}$ elementi che contenga ${\displaystyle X}$, includiamo ${\displaystyle X}$ e scegliamo ${\displaystyle k-1}$ elementi tra i restanti ${\displaystyle n-1}$ elementi dell'insieme. Ci sono ${\displaystyle {\binom {n-1}{k-1}}}$ sottoinsiemi di questo tipo.

Per costruire un sottoinsieme di ${\displaystyle k}$ elementi che non contenga ${\displaystyle X}$, scegliamo ${\displaystyle k}$ elementi tra i restanti ${\displaystyle n-1}$ elementi dell'insieme. Ci sono ${\displaystyle {\binom {n-1}{k}}}$ sottoinsiemi di questo tipo.

Ogni sottoinsieme di ${\displaystyle k}$ elementi o contiene ${\displaystyle X}$ oppure non lo contiene. Il numero totale di sottoinsiemi con ${\displaystyle k}$ elementi presi da un insieme di ${\displaystyle n}$ elementi è la somma del numero di sottoinsiemi che contengono ${\displaystyle X}$ e del numero di sottoinsiemi che non lo contengono, ovvero ${\displaystyle {\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}}}$.

Questo totale è uguale a ${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$; pertanto, ${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}}}$.

In alternativa, segue la derivazione algebrica per il caso binomiale. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\binom {n-1}{k}}+{\binom {n-1}{k-1}}&={\frac {(n-1)!}{k!(n-1-k)!}}+{\frac {(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}}\\&=(n-1)!\left[{\frac {n-k}{k!(n-k)!}}+{\frac {k}{k!(n-k)!}}\right]\\&=(n-1)!{\frac {n}{k!(n-k)!}}\\&={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\\&={\binom {n}{k}}.\end{aligned}}}$$

Una dimostrazione algebrica alternativa utilizza la definizione alternativa dei coefficienti binomiali: ${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}}}$. Infatti:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\binom {n-1}{k}}+{\binom {n-1}{k-1}}&={\frac {(n-1)\cdots ((n-1)-k+1)}{k!}}+{\frac {(n-1)\cdots ((n-1)-(k-1)+1)}{(k-1)!}}\\&={\frac {(n-1)\cdots (n-k)}{k!}}+{\frac {(n-1)\cdots (n-k+1)}{(k-1)!}}\\&={\frac {(n-1)\cdots (n-k+1)}{(k-1)!}}\left[{\frac {n-k}{k}}+1\right]\\&={\frac {(n-1)\cdots (n-k+1)}{(k-1)!}}\cdot {\frac {n}{k}}\\&={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}}\\&={\binom {n}{k}}.\end{aligned}}}$$

Poiché ${\displaystyle {\binom {z}{k}}={\frac {z(z-1)\cdots (z-k+1)}{k!}}}$ è utilizzata come definizione estesa del coefficiente binomiale quando ${\displaystyle z}$ è un numero complesso, questa dimostrazione algebrica alternativa mostra che la regola di Pascal è valida più in generale quando ${\displaystyle n}$ è sostituito da un qualsiasi numero complesso.

La regola di Pascal può essere generalizzata ai coefficienti multinomiali.^[3] Per ogni intero ${\displaystyle p}$ tale che ${\displaystyle p\geq 2}$, con ${\displaystyle k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}\in \mathbb {Z} ^{+}\!,}$ e ${\displaystyle n=k_{1}+k_{2}+k_{3}+\cdots +k_{p}\geq 1}$, $${\displaystyle {n-1 \choose k_{1}-1,k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}+{n-1 \choose k_{1},k_{2}-1,k_{3},\dots ,k_{p}}+\cdots +{n-1 \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}-1}={n \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}}$$ dove ${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}}$ è il coefficiente del termine ${\displaystyle x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{p}^{k_{p}}}$ nello sviluppo di ${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\dots +x_{p})^{n}}$.

La derivazione algebrica per questo caso generale è la seguente. Sia ${\displaystyle p}$ un intero tale che ${\displaystyle p\geq 2}$, con ${\displaystyle k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}\in \mathbb {N} ^{+}\!,}$ e ${\displaystyle n=k_{1}+k_{2}+k_{3}+\cdots +k_{p}\geq 1}$. Allora: $${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad {n-1 \choose k_{1}-1,k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}+{n-1 \choose k_{1},k_{2}-1,k_{3},\dots ,k_{p}}+\cdots +{n-1 \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}-1}\\&={\frac {(n-1)!}{(k_{1}-1)!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+{\frac {(n-1)!}{k_{1}!(k_{2}-1)!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+\cdots +{\frac {(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots (k_{p}-1)!}}\\&={\frac {k_{1}(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+{\frac {k_{2}(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+\cdots +{\frac {k_{p}(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}={\frac {(k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{p})(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}\\&={\frac {n(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}={n \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}.\end{aligned}}}$$

• Triangolo di Tartaglia

• Russell Merris, Combinatorics (PDF), John Wiley & Sons, 2003, ISBN 978-0-471-26296-1.

• (EN) Eric W. Weisstein, Pascal's Formula, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Coefficiente binomiale centrale, su PlanetMath.
• (EN) Coefficiente binomiale, su PlanetMath.

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