In geometria , il piccolo icosicosidodecaedro è un poliedro stellato uniforme avente 52 facce - 20 triangolari , 20 esagonali e 12 a forma di pentagramma - 120 spigoli e 60 vertici.[ 1]
Coordinate cartesiane
Le coordinate cartesiane per i vertici del piccolo icosicosidodecaedro sono date da tutte le permutazioni pari di:
(
± ± -->
1
,
± ± -->
2
φ φ -->
,
± ± -->
(
φ φ -->
− − -->
1
)
)
{\displaystyle \left(\,\pm 1,\,\pm 2\varphi ,\,\pm (\varphi -1)\,\right)}
(
0
,
± ± -->
(
φ φ -->
+
1
)
,
± ± -->
(
2
φ φ -->
− − -->
1
)
)
{\displaystyle \left(\,0,\,\pm (\varphi +1),\,\pm (2\varphi -1)\,\right)}
(
± ± -->
1
,
± ± -->
2
,
± ± -->
(
φ φ -->
+
1
)
)
{\displaystyle \left(\,\pm 1,\,\pm 2,\,\pm (\varphi +1)\,\right)}
dove
φ φ -->
=
1
+
5
2
{\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
sezione aurea .
Poliedri correlati
Il piccolo icosicosidodecaedro, spesso indicato con il simbolo U31 e avente come inviluppo convesso un rombicosidodecaedro non uniforme, ha la stessa disposizione di vertici del grande dodecaedro troncato stellato , inoltre, esso condivide la disposizione degli spigoli con il piccolo dodecicosidodecaedro ditringonale , con cui ha in comune la disposizione delle facce triangolari e pentagrammiche, e con il piccolo dodecicosaedro , con cui ha in comune la disposizione delle facce esagonali.
Piccolo esacontaedro icosacronico
Il piccolo esacontaedro icosacronico è un poliedro stellato isoedro, nonché il duale del piccolo icosicosidodecaedro, avente per facce 60 aquiloni .[ 2]
Dato un piccolo icosicosidodecaedro di spigolo pari a 1, immaginando il piccolo esacontaedro icosacronico come composto da 60 facce intersecanti a forma di aquilone, come riportato nella figura sottostante, di cui solo una parte visibile all'esterno del solido, le facce risultanti hanno una coppia di angoli uguali di ampiezza pari a
arccos
-->
(
3
4
− − -->
1
20
5
)
≈ ≈ -->
50
,
342
524
343
87
∘ ∘ -->
{\displaystyle \arccos({\frac {3}{4}}-{\frac {1}{20}}{\sqrt {5}})\approx 50,342\,524\,343\,87^{\circ }}
arccos
-->
(
− − -->
1
12
− − -->
19
60
5
)
≈ ≈ -->
142
,
318
554
460
55
∘ ∘ -->
{\displaystyle \arccos(-{\frac {1}{12}}-{\frac {19}{60}}{\sqrt {5}})\approx 142,318\,554\,460\,55^{\circ }}
arccos
-->
(
− − -->
5
12
− − -->
1
60
5
)
≈ ≈ -->
116
,
996
396
851
70
∘ ∘ -->
{\displaystyle \arccos(-{\frac {5}{12}}-{\frac {1}{60}}{\sqrt {5}})\approx 116,996\,396\,851\,70^{\circ }}
31
+
5
5
38
≈ ≈ -->
1
,
110
008
944
41
{\displaystyle {\frac {31+5{\sqrt {5}}}{38}}\approx 1,110\,008\,944\,41}
Note
Collegamenti esterni
