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Il paradosso della conoscibilità di Fitch, anche conosciuto come paradosso della conoscibilità di Church-Fitch, dai nomi del logico Alonzo Church che lo dimostrò per primo, e di Frederic Fitch che lo riscoprì rendendolo noto, è uno dei principali rompicapi della logica epistemica. Consiste, in sostanza, nello sfidare l'accettabilità della tesi di conoscibilità (è possibile, in principio, conoscere un fatto vero), comune a diversi indirizzi di pensiero, mostrando che implicherebbe l'onniscienza (tutti i fatti sono conosciuti, attualmente).

Il paradosso è problematico specialmente per i verificazionisti e anti-realisti, poiché tendono ad accettare la tesi di conoscibilità ma a rifiutare fortemente l'onniscienza.

Storia

Il paradosso è diventato noto con l'articolo A Logical Analysis of Some Value Concepts^[1] di Frederic B. Fitch (1908-1987), che citava una sconosciuta fonte in un articolo del 1945. L'articolo è stato individuato nel 2009 da Joe Salerno e lo si deve ad Alonzo Church.^[2]

Esposizione

La tesi del paradosso è "il principio di conoscibilità implica l'onniscienza", o equivalentemente dal punto di vista logico, "il principio di conoscibilità è incompatibile con la non onniscienza" e anche "la non onniscienza implica la falsità del principio di conoscibilità".

I passaggi logici della dimostrazione possono essere esposti colloquialmente come segue:

- Sia K l’insieme di tutte le affermazioni vere

- Ipotizziamo che tutto ciò che è vero (tutte le affermazioni in K) possa essere conosciuto

- Consideriamo x = “la frase p è una verità che non conosciamo”, e ipotizziamo sia vera

- Questo vuol dire che, per l'ipotesi al primo punto, è possibile arrivare a conoscere la frase x, e per l'ipotesi al secondo punto questa stia in K

- Ma se arrivassimo a conoscerla, allora sapremo anche che “p” è vera, contraddicendo x. Quindi x non può essere conosciuta e vera allo stesso tempo.

- Quindi x non può far parte dell’insieme K, che considera solo le frasi contemporaneamente vere e conoscibili

- Quindi tutte le frasi in K sono vere e conosciute, da cui l'onniscenza

La dimostrazione formale usa pochissime regole:

(A) Sapere "p & q" implica "Sapere p & Sapere q", in simboli: $K(p\land q)\vdash Kp\land Kq$ (distributività di K su &);
(B) Sapere qualcosa implica che essa sia vera, (o "se una cosa è falsa non si può dire di conoscerla"), in simboli: $Kp\vdash p$ ;
(C) Se qualcosa è logicamente vero, allora è necessario, in simboli: $\vdash p\implies \vdash \Box p$ (regola di necessitazione);
(D) Se è necessario che p sia falso, allora p non è possibile, in simboli: $\Box \neg p\leftrightarrow \neg \Diamond p$ . Questa non è una vera regola, è solo una definizione che serve per scrivere la prova in meno spazio.

Ovviamente le assunzioni sono il principio di conoscibilità (KP) e la non onniscienza (NonO).

Premessa 1: $\forall p(p\rightarrow \Diamond Kp)$ (KP)
Premessa 2: $\exists p(p\land \neg Kp)$ (NonO)

Dimostrazione:

(1): "p & non si sa che p"

$p\land \neg Kp$ (istanza di NonO)

(2): "p & non si sa che p" implica che "è possibile sapere che (p & non si sa che p)

$(p\land \neg Kp)\rightarrow \Diamond K(p\land \neg Kp)$ (da premessa 2, eliminazione di ∀)

(3): "è possibile sapere che: p & non si sa che p"

$\Diamond K(p\land \neg Kp)$ (da 1, 2 via Modus Ponens)

(4): "si sa che: p & non si sa che p"

$K(p\land \neg Kp)$ (ipotesi ad absurdum, istanza di 3)

(5): "si sa p e si sa che non si sa p"

$Kp\land K\neg Kp$ (da 4 via A)

(6): "si sa p e non si sa p"

$Kp\land \neg Kp$ (da 5 via B)

(7): "non si sa che: p e non si sa che p"

$\neg K(p\land \neg Kp)$ (reductio ad absurdum da 4→6 - 6 è una contraddizione)

(8): "è necessario non sapere che p & non si sa che p"

$\Box \neg K(p\land \neg Kp)$ (da 7 via C)

(9): "è impossibile sapere che: p & non si sa che p"

$\neg \Diamond K(p\land \neg Kp)$ (da 8 via D)

(10): (KP) implica l'Onniscienza, e la non Onniscienza implica che non è possibile conoscere qualsiasi proposizione

${\text{(KP)}}\vdash \neg {\text{(NonO)}}$ ovvero ${\text{(NonO)}}\vdash \neg {\text{(KP)}}$ (per reductio ad absurdum su 1,2→3 tramite 9, $\neg ((1)\land (2))$ )

Note

^ The Journal of Symbolic Logic, 28, 2, June 1963, pp. 135-142.
^ Joe Salerno (ed.), New Essays on the Knowability Paradox, Oxford, Oxford University Press, 2009. L'articolo di Church, “Referee Reports on Fitch’s ‘A Definition of Value’,” è ristampato alle pp. 13-20.