Matrice identità

In matematica, la matrice identità, anche detta matrice identica o matrice unità, è una matrice quadrata in cui tutti gli elementi della diagonale principale sono costituiti dal numero 1, mentre i restanti elementi sono 0. Viene indicata con $I$ oppure con $I_{n}$ , dove $n$ è il numero di righe della matrice.

I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}\quad I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\quad I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\quad \cdots \quad I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}

Proprietà

La proprietà fondamentale di $I_{n}$ è che:

AI_{n}=A\qquad I_{n}B=B

per ogni matrice

A

B

per cui sono definite queste moltiplicazioni di matrici.

In particolare, la matrice identità è invertibile, essendo l'inversa di se stessa.
La i-esima colonna di una matrice identità è l'i-esimo vettore $e_{i}$ della base canonica dello spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$ .
La matrice identità è diagonale, ed ha il solo autovalore 1.

Notazioni

Usando la notazione applicata talvolta per descrivere in modo conciso le matrici diagonali, si può scrivere:

I_{n}=\mathrm {diag} (1,1,\dots ,1)

Si può anche scrivere con la notazione delta di Kronecker:

(I_{n})_{ij}=\delta _{ij}

Anello delle matrici

Dalla proprietà fondamentale segue che la matrice identità è l'elemento neutro della moltiplicazione nell'anello di tutte le matrici $n\times n$ a valori in un campo fissato $K$ .

Analogamente, è l'elemento neutro nel gruppo generale lineare $\mathrm {GL} (n,K)$ formato da tutte le matrici invertibili $n\times n$ a valori in $K$ .

Trasformazioni lineari

Sia $K$ un campo. Ogni matrice quadrata $A$ induce una trasformazione lineare dallo spazio vettoriale $K^{n}$ in sé, definita nel modo seguente:

x\mapsto Ax

La matrice identità è così chiamata perché induce la funzione identità. Più in generale, la matrice identità è la matrice associata alla funzione identità da uno spazio vettoriale in sé, rispetto ad una qualsiasi base.

Bibliografia

(EN) Akivis, M. A. and Goldberg, V. V. An Introduction to Linear Algebra and Tensors. New York: Dover, 1972.
(EN) Ayres, F. Jr. Schaum's Outline of Theory and Problems of Matrices. New York: Schaum, p. 10, 1962.
(EN) Courant, R. and Hilbert, D. Methods of Mathematical Physics, Vol. 1. New York: Wiley, 1989.

Voci correlate

Collegamenti esterni

matrice identica, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
(EN) identity matrix, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
(EN) Eric W. Weisstein, Identity Matrix, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) identitymatrix, in PlanetMath.

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