è detta conforme (o che preserva gli angoli) in se conserva gli angoli orientati tra le curve passanti per , come anche la loro orientazione, cioè rimane invariato l'angolo tra le tangenti delle curve passanti per . Le mappe conformi conservano sia gli angoli che la forma di figure infinitesimalmente piccole, ma non necessariamente le loro dimensioni.
La proprietà di essere conforme può essere descritta in termini del jacobiano. Se la matrice jacobiana della trasformazione è ovunque uno scalare moltiplicato per una matrice di rotazione, allora la trasformazione è conforme (se cioè la jacobiana rappresenta una similitudine). È impossibile che una proiezione sia contemporaneamente conforme ed equivalente (ossia che mantenga i rapporti tra le superfici). Ne sono un esempio la proiezione di Mercatore e le proiezioni stereografica e centrografica.
è conforme su se e solo se è una funzione olomorfa e se la sua derivata è ovunque diversa da zero su . Se la derivata è zero in punto la funzione non è conforme solo in quel punto.
Talvolta è preferibile considerare mappa conforme da un aperto in un aperto del piano complesso una qualunque funzione olomorfa su e biettiva da in , legando in questo modo, in maniera indissolubile, i concetti di mappa conforme e di equivalenza conforme tra due aperti.
Se è una funzione antiolomorfa (cioè la funzione complesso coniugato è olomorfa), allora preserva gli angoli, ma non la loro orientazione, quindi non è conforme.
Le mappe conformi sono utili per risolvere problemi di fisica e ingegneria che sono espressi in termini di funzioni di variabile complessa ma con geometrie scomode. Scegliendo un'appropriata mappa conforme, si può trasformare la geometria scomoda in una più semplice. Per esempio, se si vuole calcolare il campo elettrico di una carica puntiforme posizionata vicino all'angolo di due piani conduttori separati da un certo angolo (dove è la coordinata complessa del punto in uno spazio a 2 dimensioni). Questo problema è, in sé, di difficile risoluzione. Tuttavia, impiegando una semplice mappa conforme, si può ottenere una configurazione più comoda mappando l'angolo tra i piani in un altro, per esempio un angolo piatto: in questo modo, l'angolo tra i due piani è trasformato in una linea diritta. In questo nuovo dominio, il problema — calcolare il campo elettrico della carica puntiforme posizionata vicino a una lastra conduttrice — è di soluzione molto più facile. La soluzione ottenuta in questo dominio, , viene poi mappata nel dominio originale. Si noti che quest'applicazione non contraddice il fatto che le mappe conformi preservano gli angoli, perché fanno ciò solo nei punti all'interno del dominio e non sul bordo.
Visualizzazione degli effetti di una trasformazione conforme
La visualizzazione degli effetti di una mappa conforme (ad esempio, su un sottoinsieme del piano complesso) sono difficili da cogliere, dal momento che essi coinvolgono la contro-intuitiva visualizzazione mentale in uno spazio quadridimensionale, che sfugge alla normale intuizione spaziale tridimensionale. Le tecniche utilizzate prevedono l'osservazione degli effetti che si producono applicando la trasformazione a immagini predeterminate.
Il metodo della colorazione del dominio prevede, ad esempio, di sottoporre a trasformazione conforme un prefissato cerchio cromatico, formato da infiniti colori.
Dato un numero complesso espresso in notazione polare , è facile stabilire una corrispondenza tra il suo argomento (o fase) e una tonalità, dal momento che anche quest'ultima, nel cerchio cromatico, è rappresentata con un angolo: l'argomento viene rappresentato da una determinata tonalità che è quindi uguale per tutti i complessi con la stessa fase.
Il modulo è rappresentato dall'intensità del colore (o da variazione della sua intensità).
Un'altra tecnica, che può essere considerata una generalizzazione della precedente, permette di visualizzare l'effetto della trasformazione non su un cerchio cromatico ma su una tassellatura del piano realizzata con l'iterazione di una prefissata immagine finita.
L'interesse pedagogico di questo metodo è quello di poterlo applicare a un flusso di immagini provenienti da una webcam per permettere una maggiore interattività e un più ricco anello di retroazione[1].
