In matematica, il lemma di Itō ("Formula di Itō") è usato nel calcolo stocastico al fine di computare il differenziale di una funzione di un particolare tipo di processo stocastico. Trova ampio impiego nella matematica finanziaria.

Il lemma è un'estensione dello sviluppo in serie di Taylor che si usa per funzioni deterministiche, ossia senza termine casuale, ed è applicabile per una funzione stocastica, ossia con un termine in dW. Tale termine non è un differenziale esatto e rappresenta la componente casuale di una variabile aleatoria. dW è l'abbreviazione che indica un processo di Wiener, usato per rappresentare il moto delle particelle nella teoria cinetica dei gas. In frazioni piccole a piacere della variabile temporale, una grandezza di questo tipo manifesta comunque un'elevata variabilità.

Dal lemma di Itō si ricava l'integrale di Itō, che estende e generalizza l'integrale di Riemann per funzioni stocastiche. Diversamente dall'integrale di Riemann, non ha un significato geometrico, non è un'area.

Sia ${\displaystyle x(t)}$ un processo di Itō (o processo di Wiener generalizzato); in altre parole, ${\displaystyle x(t)}$ soddisfa l'equazione differenziale stocastica:

${\displaystyle dx(t)=a(x,t)dt+b(x,t)dW_{t}}$

Sia inoltre una funzione ${\displaystyle f}$, avente derivata seconda continua. Allora:

• ${\displaystyle f(x(t),t)}$ è ancora un processo di Itō;

• Si ha:

${\displaystyle df(x(t),t)=\left(a(x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}(b(x,t))^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+b(x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}dW_{t}}$

Tramite un'espansione in serie di Taylor di ${\displaystyle \ f(x(t),t)}$ si ottiene:

${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial t}}dt+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}dx^{2}+\cdots }$

Sostituendo ${\displaystyle dx}$ dalla SDE sopra si ha:

${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x}}(adt+bdW_{t})+{\frac {\partial f}{\partial t}}dt+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\left(a^{2}dt^{2}+2ab\,dt\,dW_{t}+b^{2}dW_{t}^{2}\right)+\cdots }$

Lo sviluppo in serie di Taylor viene di solito troncato al primo ordine; già questo consente una buona approssimazione della funzione di partenza. In questo caso, bisogna considerare che i termini in ${\displaystyle dW^{2}}$ vanno come quelli in ${\displaystyle dt^{1}}$; avendo lo stesso ordine di grandezza troncando al primo ordine, devono essere considerati anche i termini in ${\displaystyle dW^{2}}$. Passando al limite per ${\displaystyle dt}$ tendente a 0, i termini ${\displaystyle dtdW_{t},dt^{2}}$ scompaiono. Infatti, nei limiti infinitesimi (a zero) prevale la potenza con esponente più basso, che arriva a zero più lentamente degli altri termini. Per contro ${\displaystyle (dW_{t})^{2}}$ tende a ${\displaystyle dt}$; quest'ultima proprietà può essere dimostrata provando che:

${\displaystyle dW^{2}={\textrm {E}}\left(dW^{2}\right)}$ se ${\displaystyle {\textrm {E}}\left(dW^{2}\right)=dt}$

Sostituendo questi risultati nell'espressione per ${\displaystyle df}$ si ottiene:

${\displaystyle df=\left(a{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}b^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+b{\frac {\partial f}{\partial x}}dW_{t}}$

come richiesto. Una dimostrazione formale di questo risultato richiede la definizione di un integrale stocastico.

• (EN) Kiyoshi Itō (1944). Stochastic Integral. Proc. Imperial Acad. Tokyo 20, 519-524. This is the paper with the Ito Formula; Online Archiviato il 3 marzo 2016 in Internet Archive.
• (EN) Kiyoshi Itō (1951). On stochastic differential equations. Memoirs, American Mathematical Society 4, 1–51. Online
• (EN) Hagen Kleinert (2004). Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4th edition, World Scientific (Singapore); Paperback ISBN 981-238-107-4. Also available online: PDF-files. This textbook also derives generalizations of Itō's lemma for non-Wiener (non-Gaussian) processes.
• (EN) Bernt Øksendal (2000). Stochastic Differential Equations. An Introduction with Applications, 5th edition, corrected 2nd printing. Springer. ISBN 3-540-63720-6. Sections 4.1 and 4.2.
• (EN) Domingo Tavella (2002). Quantitative Methods in Derivatives Pricing: An Introduction to Computational Finance, John Wiley and Sons. ISBN 978-0-471-27479-7. Pages 36–39.

• Differenziale (matematica)
• Integrale di Itō
• Processo di Wiener

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