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L'identità di Sophie Germain è la seguente identità:

${\displaystyle a^{4}+4b^{4}=(a^{2}+2b^{2}+2ab)(a^{2}+2b^{2}-2ab)}$

Non è immediato ricavare questa fattorizzazione, dal momento che, diversamente dalla differenza di due quadrati, la somma di due quadrati non si può (in generale) scomporre, se non ricorrendo ai numeri complessi: ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=(x+iy)(x-iy)}$. Ciò non è vero se anche ${\displaystyle 2xy}$ è un quadrato, poiché in questo caso è sufficiente aggiungere e sottrarre ${\displaystyle 2xy}$.

Si può ricavare l'identità tramite completamento del quadrato:

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{4}+4b^{4}&={(a^{2})}^{2}+{(2b^{2})}^{2}={(a^{2})}^{2}+2(2a^{2}b^{2})+{(2b^{2})}^{2}-4a^{2}b^{2}=\\&={(a^{2}+2b^{2})}^{2}-{(2ab)}^{2}=(a^{2}+2b^{2}+2ab)(a^{2}+2b^{2}-2ab)\end{aligned}}}$

Questa identità permette di risolvere un problema posto nel 1977 nella competizione matematica József Kürschák: dimostrare che ${\displaystyle n^{4}+4^{n}}$ è composto se ${\displaystyle n>1}$.

Se ${\displaystyle n}$ è pari, allora, banalmente, ${\displaystyle n^{4}+4^{n}}$ è divisibile per 2. Se, invece, ${\displaystyle n}$ è dispari, allora, posto ${\displaystyle n=2k+1}$, si ha:

${\displaystyle n^{4}+4^{n}=n^{4}+4^{2k+1}=n^{4}+4\cdot {(2^{k})}^{4}}$

che, essendo della forma ${\displaystyle a^{4}+4b^{4}}$, si può fattorizzare con l'identità di Sophie Germain:

${\displaystyle n^{4}+4\cdot {(2^{k})}^{4}=(n^{2}+2\cdot 2^{2k}+2\cdot n\cdot 2^{k})(n^{2}+2\cdot 2^{2k}-2\cdot n\cdot 2^{k})}$

Il risultato discende in maniera immediata dall'osservazione secondo cui, per ${\displaystyle n>1}$, entrambi i fattori sono interi maggiori di 1.

• Arthur Engel, Problem-Solving Strategies, New York, Springer, 1999, p. 121, ISBN 0-387-98219-1.
• Carl Johan Ragnarsson, An Interesting Application of the Sophie Germain Identity, in Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem, vol. 26, n. 7, novembre 2000, pp. 426-428.

• Prodotto notevole
• Sophie Germain

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