In analisi matematica, la funzione massimale di Hardy-Littlewood associata a una funzione ${\displaystyle f}$ assolutamente integrabile (cioè, ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$) è la funzione ${\displaystyle f^{*}}$ definita dalla relazione

${\displaystyle f^{*}(x)=\sup _{t>0}{\frac {1}{2t}}\int _{x-t}^{x+t}|f(s)|ds}$.^[1]

Più in generale, per funzioni multivariate ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R^{n}} )}$,

${\displaystyle f^{*}(x)=\sup _{B}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}|f(s)|ds}$,

dove ${\displaystyle B}$ varia tra le sfere di raggio positivo centrate in ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle |B|}$ indica la loro misura.

Poiché ${\displaystyle f}$ è assolutamente integrabile, per ogni ${\displaystyle t>0}$ e per ogni ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, si ha la stima ${\displaystyle {\frac {1}{2t}}\int _{x-t}^{x+t}|f(s)|ds\leq {\frac {1}{2t}}2t\lVert f\rVert _{L^{1}}=\lVert f\rVert _{L^{1}}}$: ${\displaystyle f^{*}}$ è quindi ben definita in ogni punto.

Se ${\displaystyle f}$ è continua, ${\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {1}{2t}}\int _{x-t}^{x+t}|f(s)|ds=f(x)}$, perciò ${\displaystyle f^{*}(x)\geq f(x)}$ per ogni ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Si osservi che il limite ${\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {1}{2t}}\int _{x-t}^{x+t}|f(s)|ds=f(x)}$ è alla base della dimostrazione del fatto che la funzione integrale ${\displaystyle F}$ di una funzione continua ${\displaystyle f}$ è derivabile e ${\displaystyle F'=f.}$ L'interesse principale nella funzione massimale di Hardy-Littlewood sta nel suo uso nella dimostrazione del Teorema di Lebesgue, che estende parzialmente il risultato precedente al caso in cui ${\displaystyle f}$ non sia continua.^[1]