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In algebra e algebra computazionale, una frazione algebrica è una frazione il cui numeratore e denominatore sono espressioni ottenute componendo ripetutamente polinomi e potenze con esponente razionale. Due esempi di frazione algebrica sono ${\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}}$ e ${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}}$. Le frazioni algebriche sono soggette alle stesse regole delle frazioni numeriche.

Una frazione razionale è una frazione algebrica il cui numeratore e denominatore sono entrambi polinomi; in algebra e in geometria algebrica, il termine funzione razionale viene a volte usato come sinonimo di "frazione razionale". Un esempio di frazione razionale è ${\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}}$, mentre invece ${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}}$ non lo è, poiché il numeratore contiene una funzione radice quadrata. Una frazione algebrica può essere vista come un caso particolare di funzione algebrica, e una funzione algebrica che corrisponde a una frazione algebrica si dice esprimibile per radicali.

Nella frazione algebrica ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$, il dividendo a è detto il numeratore e il divisore b è detto il denominatore. Il numeratore e il denominatore sono detti termini della frazione algebrica.

Una frazione è ridotta ai minimi termini se l'unico fattore comune al numeratore e al denominatore è 1.

Una frazione algebrica che sia ottenuta come ripetuta composizione di polinomi e potenze razionali si dice intera. Il denominatore di una frazione algebrica intera è 1.

Se le espressioni a e b sono polinomi, la frazione algebrica è detta razionale ^[1]. Le frazioni razionali sono dette anche espressioni razionali. Una frazione razionale ${\displaystyle {\tfrac {f(x)}{g(x)}}}$ è detta propria se ${\displaystyle \deg f(x)<\deg g(x)}$, e impropria altrimenti. Per esempio, la frazione razionale ${\displaystyle {\tfrac {2x}{x^{2}-1}}}$ è propria, e le frazioni razionali ${\displaystyle {\tfrac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}}$ e ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}-x+1}{5x^{2}+3}}}$ sono improprie. Ogni frazione razionale impropria può essere espressa come la somma di un polinomio (eventualmente costante) e una frazione razionale propria. Nel primo esempio si ha

${\displaystyle {\frac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}=(x+6)+{\frac {24x-35}{x^{2}-5x+6}},}$

dove il secondo termine della somma è una frazione razionale propria. La somma di due frazioni razionali proprie è una frazione razionale propria. Il processo inverso, consistente nell'esprimere una frazione razionale propria come somma di due o più frazioni razionali prende il nome di risolvere la frazione iniziale in frazioni parziali. Per esempio,

${\displaystyle {\frac {2x}{x^{2}-1}}={\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x+1}}.}$

In questo contesto, i due termini al secondo membro si dicono frazioni parziali.

Una frazione irrazionale è una frazione algebrica non razionale, in particolare essa contiene la variabile sotto esponente frazionario.^[2] Un esempio di frazione irrazionale è

${\displaystyle {\frac {(x+2)^{1/2}}{x^{2}-3}},}$

che equivale a

${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}},}$

oppure

${\displaystyle {\frac {x^{1/2}-{\tfrac {1}{3}}a}{x^{1/3}-x^{1/2}}}.}$

• Frazione (matematica)
• Polinomio
• Divisione dei polinomi
• Funzione razionale

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