Capitano della squadra di rugby della Merchiston Castle School nel 2006, Brown iniziò a giocare nel 2010 con l'Edimburgo senza però trovare spazio nella rosa. Passò al Heriot’s tra i dilettanti per lavorare nella fattoria di famiglia.
Capitano della nazionale scozzese under-20 ai Campionati mondiali giovanili 2009[1], fece il suo debutto con la nazionale maggiore durante il quadrangolare Castle Beer Series disputato in Sudafrica, affrontando, il 22 giugno 2013, l'Italia che uscì sconfitta 30-29 dalla Scozia. Fresco vincitore del Pro12 2014-15 con il suo club, fu convocato per disputare la Coppa del Mondo di rugby 2015.