In cosmologia, l'equazione di stato di un fluido perfetto individua un numero adimensionale ${\displaystyle w}$ dato dal rapporto fra la sua pressione ${\displaystyle p}$ e la sua densità energetica ${\displaystyle \rho }$:

${\displaystyle w\equiv {\frac {p}{\rho }}}$ .

Essa è strettamente legata all'equazione di stato della termodinamica e all'equazione di stato dei gas perfetti.

L'equazione di stato dei gas perfetti può essere scritta come

${\displaystyle p=\rho _{m}RT=\rho _{m}C^{2}}$

dove ${\displaystyle \rho _{m}}$ è la densità di massa, ${\displaystyle R}$ è la costante dei gas, ${\displaystyle T}$ è la temperatura e ${\displaystyle C}$ è la velocità termica delle molecole (${\displaystyle C={\sqrt {RT}}}$). Si sostituisce

${\displaystyle w\equiv {\frac {p}{\rho }}={\frac {\rho _{m}C^{2}}{\rho _{m}c^{2}}}={\frac {C^{2}}{c^{2}}}\approx 0}$

dove ${\displaystyle c}$ è la velocità della luce, ${\displaystyle \rho =\rho _{m}c^{2}}$ e ${\displaystyle C\ll c}$ per un gas "freddo".

L'equazione di stato può essere usata nelle equazioni di Friedmann per descrivere l'evoluzione di un universo isotropico riempito con un fluido perfetto. Se ${\displaystyle a}$ è il fattore di scala allora

${\displaystyle \rho \propto a^{-3(1+w)}.}$

Se il fluido è la forma dominante di materia in un universo piatto allora

${\displaystyle a\propto t^{\frac {2}{3(1+w)}},}$

dove ${\displaystyle t}$ è il tempo proprio.

In generale, l'equazione di accelerazione di Friedmann è

${\displaystyle 3{\frac {\ddot {a}}{a}}=\Lambda -4\pi G(\rho +3p)}$

dove ${\displaystyle \Lambda }$ è la costante cosmologica e ${\displaystyle G}$ è la costante di Newton e ${\displaystyle {\ddot {a}}}$ è la derivata seconda rispetto al tempo proprio del fattore di scala.

Se si definisce (ciò che potrebbe essere chiamato "efficace") la densità di energia e la pressione come

${\displaystyle \rho ^{\prime }\equiv \rho +{\frac {\Lambda }{8\pi G}}}$

${\displaystyle p^{\prime }\equiv p-{\frac {\Lambda }{8\pi G}}}$

e

${\displaystyle p^{\prime }=w^{\prime }\rho ^{\prime }}$

l'equazione dell'accelerazione può essere scritta come

${\displaystyle {\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4}{3}}\pi G\left(\rho ^{\prime }+3p^{\prime }\right)=-{\frac {4}{3}}\pi G(1+3w^{\prime })\rho ^{\prime }}$

L'equazione di stato per la materia ordinaria non relativistica (es. polvere fredda) è ${\displaystyle w=0}$, il che significa che la sua densità di energia diminuisce di ${\displaystyle \rho \propto a^{-3}=V^{-1}}$, dove ${\displaystyle V}$ è un volume. In un universo in espansione, l'energia totale della materia non relativistica rimane costante, con la sua densità che diminuisce all'aumentare del volume.

L'equazione di stato per la "radiazione" ultra-relativistica (compresi i neutrini e, nell'universo primordiale, altre particelle che in seguito sono diventate non relativistiche) è ${\displaystyle w=1/3}$ il che significa che la sua densità di energia diminuisce di ${\displaystyle \rho \propto a^{-4}}$ . In un universo in espansione, la densità di energia della radiazione diminuisce più rapidamente dell'espansione del volume, poiché la sua lunghezza d'onda subisce il redshift gravitazionale .

L'inflazione cosmica e l'espansione accelerata dell'universo possono essere caratterizzate dall'equazione dello stato dell'energia oscura . Nel caso più semplice, l'equazione di stato della costante cosmologica è ${\displaystyle w=-1}$ . In questo caso, l'espressione sopra per il fattore di scala non vale e bisogna scriverla così: ${\displaystyle a\propto e^{Ht}}$, dove la costante H è la costante di Hubble . Più in generale, l'espansione dell'universo sta accelerando per qualsiasi equazione di stato dove ${\displaystyle w<-1/3}$ . L'espansione accelerata dell'Universo fu effettivamente osservata.^[1] In accordo con le osservazioni, il valore dell'equazione dello stato della costante cosmologica è vicino a -1.

L'ipotetica energia fantasma avrebbe un'equazione di stato ${\displaystyle w<-1}$ e causerebbe il cosiddetto Big Rip (o Grande Strappo). Tuttavia i dati attuali ci portano a pensare che ${\displaystyle -1\leq \omega \leq -1/3}$.

In un universo in espansione, i fluidi con ${\displaystyle \omega }$ più grandi scompaiono più rapidamente di quelli con ${\displaystyle \omega }$ più piccole. Questa è l'origine del problema della piattezza e dei problemi dei monopoli magnetici: la curvatura ha ${\displaystyle w=-1/3}$ e monopoli magnetici hanno ${\displaystyle w=0}$, quindi se fossero stati presenti al tempo del Big Bang, dovrebbero essere visibili tutt'oggi. Questi problemi sono risolti dall'inflazione cosmica che ha ${\displaystyle w\approx -1}$ . Misurare l'equazione dello stato dell'energia oscura è uno dei maggiori sforzi della cosmologia osservativa. Misurando accuratamente ${\displaystyle w}$, si spera che la costante cosmologica possa essere distinta dalla quintessenza, che ha ${\displaystyle w\neq -1}$ .

Un campo scalare ${\displaystyle \phi }$ può essere visto come una sorta di fluido perfetto con equazione di stato

${\displaystyle {w={\frac {{\frac {1}{2}}{\dot {\phi }}^{2}-V(\phi )}{{\frac {1}{2}}{\dot {\phi }}^{2}+V(\phi )}},}}$

dove ${\displaystyle {\dot {\phi }}}$ è la derivata temporale di ${\displaystyle \phi }$ e ${\displaystyle V(\phi )}$ è l'energia potenziale. Un campo scalare libero (${\displaystyle V=0}$) ha ${\displaystyle w=1}$ e uno con l'energia cinetica che svanisce equivale a una costante cosmologica: ${\displaystyle w=-1}$ . Qualsiasi equazione di stato nel mezzo (ma non oltre il ${\displaystyle w=-1}$, la barriera nota come Phantom Divide Line (PDL),^[2] è realizzabile, il che rende i campi scalari utili modelli per molti fenomeni della cosmologia.

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