Dodecadodecaedro camuso
In geometria , il dodecadodecaedro camuso è un poliedro stellato uniforme avente 84 facce - 60 triangolari , 12 pentagonali e 12 a forma di pentagramma - 150 spigoli e 60 vertici.[ 1]
Coordinate cartesiane
Le coordinate cartesiane per i vertici del dodecadodecaedro camuso, spesso indicato con il simbolo U40 e il cui inviluppo convesso è un dodecaedro camuso non uniforme, sono date da tutte le permutazioni pari di:
(
± ± -->
2
α α -->
,
± ± -->
2
,
± ± -->
2
β β -->
)
{\displaystyle \left(\,\pm 2\alpha ,\,\pm 2,\,\pm 2\beta \,\right)}
(
± ± -->
(
α α -->
+
β β -->
φ φ -->
− − -->
1
+
φ φ -->
)
,
± ± -->
(
− − -->
α α -->
φ φ -->
+
β β -->
+
φ φ -->
− − -->
1
)
,
± ± -->
(
α α -->
φ φ -->
− − -->
1
+
β β -->
φ φ -->
− − -->
1
)
)
{\displaystyle \left(\,\pm (\alpha +\beta \varphi ^{-1}+\varphi ),\,\pm (-\alpha \varphi +\beta +\varphi ^{-1}),\,\pm (\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi -1)\,\right)}
(
± ± -->
(
− − -->
α α -->
φ φ -->
− − -->
1
+
β β -->
φ φ -->
+
1
)
,
± ± -->
(
− − -->
α α -->
+
β β -->
φ φ -->
− − -->
1
− − -->
φ φ -->
)
,
± ± -->
(
α α -->
φ φ -->
+
β β -->
− − -->
φ φ -->
− − -->
1
)
)
{\displaystyle \left(\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi +1),\,\pm (-\alpha +\beta \varphi ^{-1}-\varphi ),\,\pm (\alpha \varphi +\beta -\varphi ^{-1})\,\right)}
(
± ± -->
(
− − -->
α α -->
φ φ -->
− − -->
1
+
β β -->
φ φ -->
− − -->
1
)
,
± ± -->
(
α α -->
− − -->
β β -->
φ φ -->
− − -->
1
− − -->
φ φ -->
)
,
± ± -->
(
α α -->
φ φ -->
+
β β -->
+
φ φ -->
− − -->
1
)
)
{\displaystyle \left(\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi -1),\,\pm (\alpha -\beta \varphi ^{-1}-\varphi ),\,\pm (\alpha \varphi +\beta +\varphi ^{-1})\,\right)}
(
± ± -->
(
α α -->
+
β β -->
φ φ -->
− − -->
1
− − -->
φ φ -->
)
,
± ± -->
(
α α -->
φ φ -->
− − -->
β β -->
+
φ φ -->
− − -->
1
)
,
± ± -->
(
α α -->
φ φ -->
− − -->
1
+
β β -->
φ φ -->
+
1
)
)
{\displaystyle \left(\,\pm (\alpha +\beta \varphi ^{-1}-\varphi ),\,\pm (\alpha \varphi -\beta +\varphi ^{-1}),\,\pm (\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi +1)\,\right)}
con un numero pari di segni più, dove
β β -->
=
α α -->
2
φ φ -->
+
φ φ -->
α α -->
φ φ -->
− − -->
1
φ φ -->
,
{\displaystyle \beta ={\frac {\ \ {\frac {\alpha ^{2}}{\varphi }}+\varphi \ \ }{\ \alpha \varphi -{\frac {1}{\varphi }}}}\ ,}
φ φ -->
=
1
+
5
2
{\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
sezione aurea e α è la radice reale positiva di
φ φ -->
α α -->
4
− − -->
α α -->
3
+
2
α α -->
2
− − -->
α α -->
− − -->
1
φ φ -->
⟹ ⟹ -->
α α -->
≈ ≈ -->
0
,
7964421.
{\displaystyle \varphi \alpha ^{4}-\alpha ^{3}+2\alpha ^{2}-\alpha -{\frac {1}{\varphi }}\quad \implies \quad \alpha \approx 0,7964421.}
Poliedri correlati
Esacontaedro pentagonale medio
L'esacontaedro pentagonale medio è un poliedro stellato isoedro, nonché il duale del dodecadodecaedro camuso, avente per facce 60 pentagoni irregolari.[ 2]
Dato un dodecadodecaedro camuso di spigolo pari a 1, immaginando l'esacontaedro pentagonale medio come composto da 60 facce intersecanti a forma di pentagono irregolare, come riportato nella figura sottostante, di cui solo una parte visibile all'esterno del solido, e considerando la già citata sezione aurea e il numero
ξ ξ -->
≈ ≈ -->
− − -->
0
,
409
037
788
014
42
{\displaystyle \xi \approx -0,409\,037\,788\,014\,42}
arccos
-->
(
ξ ξ -->
)
≈ ≈ -->
114
,
144
404
470
43
∘ ∘ -->
{\displaystyle \arccos(\xi )\approx 114,144\,404\,470\,43^{\circ }}
arccos
-->
(
φ φ -->
2
ξ ξ -->
+
φ φ -->
)
≈ ≈ -->
56
,
827
663
280
94
∘ ∘ -->
{\displaystyle \arccos(\varphi ^{2}\xi +\varphi )\approx 56,827\,663\,280\,94^{\circ }}
arccos
-->
(
φ φ -->
− − -->
2
ξ ξ -->
− − -->
φ φ -->
− − -->
1
)
≈ ≈ -->
140
,
739
123
307
76
∘ ∘ -->
{\displaystyle \arccos(\varphi ^{-2}\xi -\varphi ^{-1})\approx 140,739\,123\,307\,76^{\circ }}
1
+
1
− − -->
ξ ξ -->
− − -->
φ φ -->
− − -->
3
− − -->
ξ ξ -->
≈ ≈ -->
3
,
854
145
870
08
,
{\displaystyle 1+{\sqrt {\frac {1-\xi }{-\varphi ^{-3}-\xi }}}\approx 3,854\,145\,870\,08,}
1
+
1
− − -->
ξ ξ -->
φ φ -->
3
− − -->
ξ ξ -->
≈ ≈ -->
1
,
550
761
427
20
,
{\displaystyle 1+{\sqrt {\frac {1-\xi }{\varphi ^{3}-\xi }}}\approx 1,550\,761\,427\,20,}
Note
^ Roman Maeder, 40: snub dodecadodecahedron Mathconsult . URL consultato il 24 marzo 2024 . ^ Magnus J. Wenninger, Dual Models URL consultato il 20 marzo 2024 .
Collegamenti esterni
