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In matematica, i numeri reali vengono costruiti in vari modi equivalenti. Tra questi, i più noti usano le sezioni di Dedekind e le successioni di Cauchy. Ciascuna di queste costruzioni definisce i numeri reali come una estensione dell'insieme dei numeri razionali.

Un numero reale è una quantità che può essere rappresentata come

${\displaystyle x=n+0.d_{1}d_{2}d_{3}...}$

dove ${\displaystyle n}$ è un numero intero e ogni ${\displaystyle d_{i}}$ è una cifra tra 0 e 9 (le cifre ${\displaystyle d_{1},d_{2},\ldots }$ sono infinite). Questa definizione deve però tenere conto della doppia rappresentazione periodica dei decimali finiti: analogamente a quanto avviene per i numeri razionali, in cui due rappresentazioni come frazione danno talvolta lo stesso numero (ad esempio, ${\displaystyle 1/2}$ e ${\displaystyle 2/4}$), anche lo stesso numero reale può essere rappresentato in due modi diversi; questo accade quando la successione ${\displaystyle d_{1},d_{2},\ldots }$ finisce con una successione di 9 consecutivi. Ad esempio, i numeri

${\displaystyle 1=0,99999999\ldots }$

rappresentano lo stesso numero reale (vedi 0,999...). Si può ovviare a questo problema definendo come numero reale una quantità rappresentabile come ${\displaystyle x=n+0.d_{1}d_{2}d_{3}...}$ in cui la successione ${\displaystyle d_{i}}$ non termina con una infinità di 9 consecutivi. In questo modo viene scartata a priori una delle due rappresentazioni equivalenti.

Questa costruzione si collega alle successive nel modo seguente: il numero ${\displaystyle x=n+0.d_{1}d_{2}d_{3}...}$ è il numero reale ${\displaystyle x}$ che soddisfa questa doppia disequazione per ogni ${\displaystyle k}$:

${\displaystyle n+{\frac {d_{1}}{10}}+{\frac {d_{2}}{100}}+...+{\frac {d_{k}}{10^{k}}}\leq x<n+{\frac {d_{1}}{10}}+{\frac {d_{2}}{100}}+...+{\frac {d_{k}}{10^{k}}}+{\frac {1}{10^{k}}}.}$

La rappresentazione tramite decimali è certamente la più nota e maneggevole; i matematici preferiscono però usare costruzioni più astratte per i numeri reali, essenzialmente per questi motivi:

• l'aggiramento del problema della doppia rappresentazione è macchinoso e poco elegante
• non è possibile definire le operazioni elementari di somma e moltiplicazione fra numeri reali con operazioni "cifra per cifra" nel modo solito (dovremmo "partire da destra") ma solo con approssimazioni troncate, ritrovandosi su un terreno analogo a quello delle successioni di Cauchy e delle sezioni di Dedekind,
• la rappresentazione è ancorata alla base scelta (nello specifico la base 10) e quindi non è "canonica".

Un modo per costruire l'insieme ${\displaystyle \mathbb {R} }$ simile a quello appena visto, ma più astratto, è quello di utilizzare le serie e gli insiemi di numeri naturali. Questo metodo prende spunto dall'argomento diagonale di Cantor, utilizzato per dimostrare la non numerabilità dei numeri reali.

Consideriamo la rappresentazione binaria di un numero reale ${\displaystyle x\geq 0}$: essa è una stringa di 0 e 1, di cui la sottostringa prima della virgola ha lunghezza finita (si omette lo 0 prima della virgola se ${\displaystyle x\leq 1}$, in modo da evitare che i numeri minori di 1 abbiano cifre nella parte intera); sia dunque ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ il numero di cifre binarie di ${\displaystyle x}$ che rappresentano la sua parte intera. Possiamo allora riscrivere ${\displaystyle x}$ come segue: ${\displaystyle x=2^{n}\cdot d}$, da cui si ricava ${\displaystyle d={\frac {x}{2^{n}}}}$.

Dato che la rappresentazione binaria di ${\displaystyle 2^{n}}$ è lunga ${\displaystyle n+1}$ cifre (1 seguito da ${\displaystyle n}$ zeri), mentre quella di ${\displaystyle x}$ ha solo ${\displaystyle n}$ cifre nella parte intera, allora ${\displaystyle 0\leq x\leq 2^{n}}$, dunque, dividendo per ${\displaystyle 2^{n}}$, si ottiene ${\displaystyle 0\leq {\frac {x}{2^{n}}}\leq 1}$, e siccome ${\displaystyle {\frac {x}{2^{n}}}=d}$, abbiamo che ${\displaystyle 0\leq d\leq 1}$.

Quindi, ogni coppia di numeri reali opposti può essere espressa come ${\displaystyle \pm 2^{n}\cdot d}$, dove ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ e ${\displaystyle 0\leq d\leq 1}$. Questo però non basta, perché ${\displaystyle d}$ è a sua volta un numero reale. Sappiamo però che esso è compreso tra 0 e 1, possiamo perciò sfruttare quest'informazione a nostro favore.

Consideriamo dunque la rappresentazione binaria di ${\displaystyle d}$: essa è una stringa infinita di 0 e 1, possiamo allora "contare" le cifre partendo dalla più significativa, assegnando ad ognuna un numero naturale a partire da 1, incrementandolo di 1 ogni volta che passiamo alla cifra successiva. In questo modo, possiamo definire il seguente insieme di naturali ${\displaystyle S=\{i\in \mathbb {N} \mid {\text{l'}}i{\text{-esima cifra di }}d{\text{ è }}1\}}$. La funzione ${\displaystyle \mathbf {1} _{S}\colon \mathbb {N} \to \{0,1\}}$, che è la funzione indicatrice di ${\displaystyle S}$, è dunque così definita:

${\displaystyle \mathbf {1} _{S}(i)={\begin{cases}1,&{\text{se }}i\in S\\0,&{\text{se }}i\notin S\\\end{cases}}}$

Per cui, basandoci sulla notazione posizionale, possiamo esprimere ${\displaystyle d}$ come una serie:

${\displaystyle d=\sum _{i=1}^{\infty }2^{-i}\cdot \mathbf {1} _{S}(i)}$

Dunque, ${\displaystyle x}$ può essere espresso come segue:

${\displaystyle x=2^{n}\cdot d=2^{n}\cdot \sum _{i=1}^{\infty }2^{-i}\cdot \mathbf {1} _{S}(i)=\sum _{i=1}^{\infty }2^{n}\cdot 2^{-i}\cdot \mathbf {1} _{S}(i)=\sum _{i=1}^{\infty }2^{n-i}\cdot \mathbf {1} _{S}(i)}$

In definitiva, possiamo allora definire l'insieme ${\displaystyle \mathbb {R} }$ come segue:

${\displaystyle \mathbb {R} =\left\{\pm \sum _{i=1}^{\infty }2^{n-i}\cdot \mathbf {1} _{S}(i)\ {\bigg |}\ n\in \mathbb {N} ,S\subseteq \mathbb {N} \right\}}$

Lo stesso argomento in dettaglio: Sezione di Dedekind.

Questa costruzione, introdotta da Richard Dedekind, nasce dall'osservazione che ogni numero razionale divide l'insieme ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ dei razionali in due insiemi: l'insieme ${\displaystyle A_{r}}$ dei razionali tali che ${\displaystyle a<r}$ e l'insieme ${\displaystyle B_{r}}$ dei razionali tali che ${\displaystyle b\geq r}$. Dedekind chiama quindi la coppia ${\displaystyle (A_{r};B_{r})}$ una sezione in due insiemi. D'altra parte, anche un numero reale come ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ definisce una sezione ${\displaystyle (A,B)}$, dove ${\displaystyle A}$ è dato da tutti i razionali ${\displaystyle a}$ tali che ${\displaystyle a<{\sqrt {2}}}$, mentre ${\displaystyle B}$ è dato da tutti i razionali ${\displaystyle \beta }$ con ${\displaystyle \beta >{\sqrt {2}}}$.

Dedekind definisce quindi un numero reale come una sezione dei numeri razionali. Nella definizione originaria, una sezione di Dedekind è una coppia ${\displaystyle (A,B)}$ di sottoinsiemi non vuoti di ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ tali che

• ${\displaystyle A\cap B=\emptyset }$
• ${\displaystyle A\cup B=\mathbb {Q} }$
• ${\displaystyle \forall a\in A,\forall b\in B,a<b}$

In questo modo però ogni numero razionale determina due sezioni:

• ${\displaystyle (A,B)}$ dove ${\displaystyle A}$ è l'insieme dei razionali strettamente minori di ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle B}$ è l'insieme dei razionali maggiori o uguali a ${\displaystyle r}$,
• ${\displaystyle (A,B)}$ dove ${\displaystyle A}$ è l'insieme dei razionali minori o uguali a ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle B}$ è l'insieme dei razionali strettamente maggiori di ${\displaystyle r}$.

Per evitare l'ambiguità, si fa a meno del secondo insieme della coppia e si definisce la sezione come costituita da un solo sottoinsieme ${\displaystyle A}$ di ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ tale che

• ${\displaystyle A}$ è non vuoto e differente da ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• per ogni ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle A}$, se ${\displaystyle a'<a}$ allora ${\displaystyle a'}$ appartiene a ${\displaystyle A}$.
• ${\displaystyle A}$ non ha massimo, cioè non esiste ${\displaystyle m}$ in ${\displaystyle A}$ tale che ${\displaystyle m>a}$ per ogni altro ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle A}$.

Con questa definizione l'ambiguità è eliminata: ogni numero razionale viene associato ad un'unica sezione. Si definisce quindi l'insieme ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dei numeri reali come l'insieme delle sezioni. Ad esempio, il numero irrazionale ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ è definito dalla sezione

${\displaystyle A=\{a\in \mathbb {Q} \ |\ a<0\ {\text{oppure}}\ a^{2}<2\}}$.

Quale conseguenza della costruzione stessa è evidente che in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ è presente una copia isomorfa di ${\displaystyle \mathbb {Q} }$: l'insieme ${\displaystyle \{X_{q}\mid q\in \mathbb {Q} \}}$, dove indichiamo con ${\displaystyle X_{q}}$ il segmento iniziale ${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} \mid x<q\}}$.

Lo stesso argomento in dettaglio: Assioma di Dedekind.

L'insieme delle sezioni ha una relazione d'ordine data dall'inclusione che gli fornisce la struttura di insieme totalmente ordinato. È anche evidente che questo ordinamento è quello giusto: riproduce quello già esistente sui razionali aggiungendovi inoltre l'importante proprietà di completezza o continuità, espressa dall'assioma di Dedekind: ogni insieme non vuoto e limitato ha un estremo superiore. Questa proprietà è equivalente a richiedere che i reali siano uno spazio metrico completo con la distanza usualmente definita.

L'addizione fra numeri reali è definita nel modo seguente. Dati due sezioni ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$, la somma ${\displaystyle A+B}$ è la sezione

${\displaystyle A+B=\{a+b\ |\ a\in A,b\in B\}}$

Una volta verificato che la definizione data produce una sezione, i numeri reali, con questa operazione, sono un gruppo commutativo, con elemento neutro ${\displaystyle X_{0}=\{x<0\}}$.

La costruzione della moltiplicazione è leggermente più macchinosa per via dei segni. Si definisce su tutti i reali positivi nel modo seguente:

${\displaystyle A\times B=\{ab\ |\ a\in A,a>0,b\in B,b>0\}\cup \{a\in \mathbb {Q} \ |\ a<0\}}$

e si estende ai numeri negativi usando la regola del segno. Anche in questo caso è facile dimostrare che gli insiemi prodotti sono sezioni.

L'insieme ${\displaystyle \mathbb {R} }$ munito delle operazioni di somma e prodotto è un campo. Con l'ordinamento dato, questo è anche un campo archimedeo completo. Il sottoinsieme ${\displaystyle \{X_{q}\ |\ q\in \mathbb {Q} \}}$ è un sottocampo, naturalmente isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Questa costruzione è più complessa, ma offre due vantaggi: la definizione delle operazioni di somma e prodotto è immediata, e la costruzione può essere generalizzata per fornire un procedimento generale per il completamento degli spazi metrici.

L'idea di Cantor è motivata dal fatto che ogni numero reale è ottenibile come limite di una successione di Cauchy di numeri razionali, ovvero di una successione ${\displaystyle (u_{n})}$ di razionali tale che:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists N\in \mathbb {N} \;\forall m,n>N\quad |u_{m}-u_{n}|<\varepsilon \;}$

Sia ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ l'insieme di tutte le successioni di Cauchy di numeri razionali. È evidente che (infinite) successioni distinte possono convergere allo stesso limite.

Si procede allora considerando equivalenti due successioni di Cauchy ${\displaystyle (u_{n})}$ e ${\displaystyle (v_{n})}$ che esibiscono la seguente proprietà:

${\displaystyle (u_{n})\sim (v_{n})\Leftrightarrow \lim _{n\to \infty }u_{n}-v_{n}=0}$

Nel caso di successioni convergenti questo è equivalente a dire che "convergono allo stesso limite".

Che si tratti poi di una relazione di equivalenza è molto semplice da provare.

Si definisce allora l'insieme ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dei numeri reali come l'insieme quoziente di ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ rispetto alla relazione di equivalenza così definita.

Lo stesso argomento in dettaglio: Assioma di Dedekind.

Due numeri reali ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$ sono in relazione ${\displaystyle u\leqslant v}$ se e solo se esistono due successioni di Cauchy ${\displaystyle (u_{n}),(v_{n})}$ che li definiscono tali che ${\displaystyle u_{n}\leqslant v_{n}}$ per ogni ${\displaystyle n}$. Con questa relazione d'ordine, i numeri reali sono un insieme totalmente ordinato.

Somma e prodotto vengono definiti termine a termine nelle successioni. Se ${\displaystyle (u_{n})}$ e ${\displaystyle (v_{n})}$ sono due successioni di Cauchy, si definisce cioè

${\displaystyle (u+v)_{n}=u_{n}+v_{n}}$

${\displaystyle (u\cdot v)_{n}=u_{n}\cdot v_{n}}$

Con queste due operazioni i numeri reali risultano essere un campo.

La completezza può essere inferita quale conseguenza dell'Assioma di Dedekind. Può anche essere dimostrata, partendo dalla definizione, mostrando che ogni successione di Cauchy di numeri reali è convergente. Questa dimostrazione si presta ad essere generalizzata agli spazi metrici qualsiasi.

Anche in questa costruzione è evidente in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ la presenza di una copia isomorfa di ${\displaystyle \mathbb {Q} }$: l'insieme ${\displaystyle \{X_{q}\mid q\in \mathbb {Q} \}}$, dove indichiamo con ${\displaystyle X_{q}}$ il segmento iniziale ${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} \mid x<q\}}$.

L'operazione appena descritta consiste nell'aggiungere ad uno spazio metrico ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ulteriori punti, determinati da tutte le possibili successioni di Cauchy. Questa operazione può essere definita per ogni spazio metrico ${\displaystyle X}$ ed è chiamata completamento. Il risultato è uno spazio completo ${\displaystyle X'}$ che contiene (una copia isomorfa di) ${\displaystyle X}$. In particolare, i numeri reali formano uno spazio completo (per i reali ciò è equivalente all'assioma di Dedekind).

• Numero reale
• Quasi omomorfismo

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