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In geometria differenziale, la connessione di Levi-Civita è, su una varietà riemanniana, l'unica connessione senza torsione che preserva la metrica. Il suo nome è dovuto a Tullio Levi-Civita^[1].

Grazie alla connessione di Levi-Civita, il tensore metrico della varietà riemanniana risulta essere quindi ingrediente sufficiente per definire univocamente concetti più elaborati come derivata covariante, geodetica, trasporto parallelo.

Definizione

Sia $(M;g)$ una varietà riemanniana. Una connessione $\nabla$ è di Levi-Civita se valgono le proprietà seguenti^[2]:

non ha torsione, ossia, si ha: $\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]$
preserva la metrica, cioè:

\nabla _{X}(g(Y,Z))=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)\,.

Ovvero, equivalentemente

\nabla _{X}g=0\,.

Entrambe le proprietà possono essere espresse usando la notazione con indici. Una connessione è di Levi-Civita se in ogni carta valgono le proprietà seguenti:

i simboli di Christoffel sono simmetrici negli indici in basso, cioè:

\Gamma _{ij}^{k}=\Gamma _{ji}^{k}

la derivata covariante del tensore metrico è nulla, cioè:

\nabla _{k}g_{ij}=0\,.

Proprietà

Esistenza e unicità

Il seguente fatto è un risultato fondamentale della geometria riemanniana.

Una varietà riemanniana o pseudo-riemanniana ha un'unica connessione di Levi-Civita.

La dimostrazione di questo fatto può essere svolta nel modo seguente. I simboli di Christoffel definiscono il termine da aggiungere in una carta alla usuale derivata parziale per ottenere la derivata covariante. Per ogni connessione e in ogni carta vale quindi la relazione

\nabla _{k}g_{ij}=\partial _{k}g_{ij}-\Gamma _{kj}^{h}g_{hi}-\Gamma _{ik}^{h}g_{jh}.

Supponiamo che la connessione sia di Levi-Civita. Questa quantità è quindi zero, perché si richiede che la derivata covariante della metrica sia nulla. Permutando i tre indici $i,j,k$ in modo ciclico si ottengono tre uguaglianze. Sottraendo le ultime due uguaglianze dalla prima, e usando la simmetria dei simboli di Christoffel (la torsione è nulla) si ottiene:

\partial _{i}g_{jk}-\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}+2\Gamma _{jk}^{h}g_{hi}=0.

Il simbolo di Christoffel può essere esplicitato moltiplicando questa relazione per $g^{li}$ . Il risultato è

\Gamma _{jk}^{l}={\frac {1}{2}}g^{li}(\partial _{j}g_{ki}+\partial _{k}g_{ij}-\partial _{i}g_{jk}).

Questo dimostra l'unicità della connessione. D'altra parte, questa uguaglianza può essere usata per definire una connessione di Levi-Civita: è sufficiente verificare che una tale definizione fornisca effettivamente una connessione, e cioè che i simboli $\Gamma _{jk}^{l}$ così definiti cambino al mutare delle coordinate come i simboli di Christoffel.

Innalzamento e abbassamento degli indici

Una connessione di Levi-Civita ha delle buone proprietà rispetto all'operazione di innalzamento e abbassamento degli indici, effettuata tramite contrazione con il tensore metrico o il suo inverso. Innanzitutto, anche il tensore metrico inverso ha derivata covariante nulla:

\nabla _{k}g^{ij}=0.

Perciò la derivata covariante commuta con l'innalzamento o abbassamento degli indici. Ad esempio, se $V^{i}$ è un campo vettoriale:

\nabla _{k}(g_{ij}V^{j})=(\nabla _{k}g_{ij})V^{j}+g_{ij}(\nabla _{k}V^{j})=g_{ij}(\nabla _{k}V^{j}).

Note

^ Tullio Levi-Civita, Nozione di parallelismo in una varietà qualunque, in Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 42, 1917, pp. 173–205, DOI:10.1007/BF03014898, JFM 46.1125.02.
^ G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lezioni di geometria differenziale, Torino, Bollati Boringhieri, 1995, p. 146.

Bibliografia

(EN) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry, 1994.
(EN) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley-Interscience, 1996 (Nuova edizione), ISBN 0-471-15733-3.
G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lezioni di geometria differenziale, Torino, Bollati Boringhieri, 1995, ISBN 978-88-339-5556-8.