Il calcolo tensoriale è quella parte dell'analisi che manipola i tensori.

Sviluppato da Gregorio Ricci-Curbastro e dal suo allievo Tullio Levi-Civita, è stato utilizzato da Albert Einstein per elaborare la sua teoria della relatività generale. Rispetto al calcolo infinitesimale, il calcolo tensoriale permette di presentare le equazioni fisiche in forma indipendente dalla scelta del sistema di coordinate.

Secondo Eddington, è questo il solo mezzo possibile per esprimere i fenomeni in forma oggettiva, e per spiegare le leggi della fisica come combinazioni di leggi ancor più profonde, quelle dello spazio-tempo.

Sia ${\displaystyle \phi }$ uno scalare, ad esempio una funzione scalare invariante estesa nel continuum a quattro dimensioni. Consideriamo ora una curva ${\displaystyle S}$ qualunque, su cui stabiliamo una metrica per cui la distanza da un punto fisso misurata sulla curva sia ${\displaystyle s:}$ allora anche ${\displaystyle {\frac {d\phi }{ds}}}$ è invariante, essendo invarianti sia ${\displaystyle ds}$ che ${\displaystyle d\phi }$. Poiché vale la relazione

${\displaystyle {\frac {d\phi }{ds}}=\sum _{\mu }{\frac {\partial \phi }{\partial x^{\mu }}}{\frac {dx^{\mu }}{ds}}}$

anche il secondo membro è un invariante (ometteremo nel seguito il simbolo di somma, con le solite convenzioni). Dunque il quadrivettore

${\displaystyle A_{\mu }={\frac {\partial \phi }{\partial x^{\mu }}}}$

ossia il gradiente di ${\displaystyle \phi }$, è covariante. Se definiamo un nuovo invariante

${\displaystyle \psi ={\frac {\partial \phi }{\partial x^{\mu }}}{\frac {dx^{\mu }}{ds}}}$

per quanto visto prima, ${\displaystyle \chi ={\frac {d\psi }{ds}}}$ è un invariante. Sostituendo a ${\displaystyle \psi }$ la sua espressione, otteniamo

${\displaystyle \chi ={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{\mu }\partial x^{\nu }}}{\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {dx^{\nu }}{ds}}+{\frac {\partial \phi }{\partial x^{\mu }}}{\frac {d^{2}x^{\mu }}{ds^{2}}}}$

Ricordando che l'equazione generale di una geodetica per lo spaziotempo, utilizzando i simboli di Christoffel di seconda specie, ha la forma

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\tau }}{ds^{2}}}+\left\{{\begin{matrix}\tau \\\nu \mu \end{matrix}}\right\}{\frac {dx^{\nu }}{ds}}{\frac {dx^{\mu }}{ds}}=0}$

ricaviamo il valore di ${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\mu }}{ds^{2}}}}$, che sostituiamo. Otteniamo dunque la relazione

${\displaystyle \chi =\left[{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{\mu }\partial x^{\nu }}}-\left\{{\begin{matrix}\tau \\\nu \mu \end{matrix}}\right\}{\frac {\partial \phi }{\partial x^{\tau }}}\right]{\frac {dx^{\nu }}{ds}}{\frac {dx^{\mu }}{ds}}.}$

Il teorema di Schwarz ci garantisce che l'ordine di derivazione rispetto a ${\displaystyle \nu }$ e ${\displaystyle \mu }$ è invertibile, e il simbolo di Christoffel di seconda specie è simmetrico rispetto a ${\displaystyle \nu }$ e ${\displaystyle \mu }$, dunque la relazione tra parentesi quadre data sopra è simmetrica anch'essa. Per la generalità delle ${\displaystyle x^{\nu }}$, il quadrivettore ${\displaystyle {\frac {dx^{\mu }}{ds}}}$ è arbitrario. Ricordando l'invarianza di ${\displaystyle x,}$ otteniamo dunque che la relazione

${\displaystyle A_{\nu /\mu }={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{\mu }\partial x^{\nu }}}-\left\{{\begin{matrix}\tau \\\nu \mu \end{matrix}}\right\}{\frac {\partial \phi }{\partial x^{\tau }}}}$

rappresenta un tensore covariante del secondo ordine.

Ricapitolando, dal quadrivettore covariante

${\displaystyle A_{\mu }={\frac {\partial \phi }{\partial x^{\mu }}}}$

abbiamo ricavato il tensore covariante del secondo ordine

${\displaystyle A_{\mu /\nu }={\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}-\left\{{\begin{matrix}\tau \\\mu \nu \end{matrix}}\right\}A_{\tau }.}$

Chiameremo questo tensore la derivata tensoriale del tensore A_μ. È facile vedere che tale risultato vale non solo partendo da un gradiente, ma da qualsiasi vettore covariante. Basta infatti notare che, dati due scalari ${\displaystyle \phi }$ e ${\displaystyle \psi }$, per quanto visto prima ${\displaystyle \psi {\frac {\partial \phi }{\partial x^{\mu }}}}$ è un tensore del primo ordine covariante. Altrettanto potrà dirsi di una somma di quattro di questi vettori qualsiasi ${\displaystyle S_{\mu }=\psi _{\nu }{\frac {\partial \phi _{\nu }}{\partial x^{\mu }}}}$. Ora, un qualunque vettore A_μ può esprimersi nella forma di S_μ (il come è lasciato per esercizio al lettore). Per quanto riguarda il resto della dimostrazione, basta ripercorrere il cammino partendo da ${\displaystyle \psi {\frac {\partial \phi }{\partial x^{\mu }}}}$, e si ricava esattamente la stessa formula, che è quanto ci attendevamo.

Esaminiamo ora il caso di un tensore del secondo ordine A_μν, abbiamo già visto che è possibile esprimerlo come somma di prodotti del tipo A_μB_ν. Ricordando la regola di derivazione del prodotto, deriviamo singolarmente i due tensori, ottenendo

${\displaystyle A_{\mu /\sigma }={\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\sigma }}}-\left\{{\begin{matrix}\tau \\\mu \sigma \end{matrix}}\right\}A_{\tau }}$

e

${\displaystyle B_{\nu /\sigma }={\frac {\partial B_{\nu }}{\partial x^{\sigma }}}-\left\{{\begin{matrix}\tau \\\nu \sigma \end{matrix}}\right\}B_{\tau }}$

Queste espressioni sono tensori. Moltiplicando poi la prima per B_ν e la seconda per A_μ, otteniamo comunque sei tensori del terzo ordine. Sommandoli e ponendo

${\displaystyle A_{\mu \nu }=A_{\mu }B_{\nu }\ }$

otteniamo

${\displaystyle A_{\mu \nu /\sigma }={\frac {\partial A_{\mu \nu }}{\partial x^{\sigma }}}-\left\{{\begin{matrix}\tau \\\mu \sigma \end{matrix}}\right\}A_{\tau \nu }-\left\{{\begin{matrix}\tau \\\nu \sigma \end{matrix}}\right\}A_{\mu \tau }}$

Analogamente a quanto visto prima, è possibile estendere il risultato ad un tensore del secondo ordine qualunque, e utilizzando le normali regole per la moltiplicazione dei tensori, si ricavano facilmente le espressioni per le derivate tensoriali per qualunque ordine di tensori.

Dato un tensore del primo ordine A^μ, possiamo dapprima considerare il nuovo tensore che si ottiene derivando tensorialmente

${\displaystyle F_{\nu }^{\mu }=A_{/\nu }^{\mu }}$

e poi la contrazione del tensore F^μ_ν

${\displaystyle F_{\nu }^{\nu }=A_{/\nu }^{\nu }}$

Lo scalare così ottenuto definisce la divergenza di A^μ

${\displaystyle \operatorname {div} A^{\mu }=A_{/\mu }^{\mu }}$

Ciò mostra come la divergenza di un vettore sia invariante per cambio di coordinate.

Il rotore di un tensore del primo ordine A^μ può essere definito, in modo formale, in modo analogo al prodotto vettoriale tra vettori, assumendo come secondo vettore le componenti dell'operatore ∇. Per mezzo del simbolo di Levi-Civita ε_ijk si ha allora

${\displaystyle \operatorname {rot} A^{\mu }=\varepsilon _{ijk}\partial ^{j}A^{k}}$

dove ∂^j definisce la derivata controvariante, ovvero, per mezzo del tensore fondamentale g^jl

${\displaystyle \partial ^{j}=g^{jl}\partial _{l}}$

In generale, il rotore di un tensore nxn,è a sua volta un tensore, che ha per colonne, il rotore delle righe. (Per esempio la prima colonna del tensore risultante sarà il rotore della prima riga, la seconda colonna sarà il rotore della seconda riga, e così via)

Molte delle usuali operazioni svolte in algebra lineare possono essere descritte usando dei tensori, scritti in coordinate, e manipolandoli tramite prodotti e contrazioni.

Un funzionale lineare ${\displaystyle T}$ è un covettore ${\displaystyle T_{a}}$, cioè un tensore di tipo ${\displaystyle (0,1)}$. Un vettore ${\displaystyle v}$ è descritto da un tensore ${\displaystyle v^{b}}$ di tipo ${\displaystyle (1,0)}$. Lo scalare ${\displaystyle T(v)}$ è quindi

${\displaystyle T(v)=T_{i}v^{i}}$

ottenuto prima facendo il prodotto dei due tensori, e poi contraendo gli indici.

Un endomorfismo ${\displaystyle T}$ può essere descritto come un tensore ${\displaystyle T_{a}^{b}}$ di tipo ${\displaystyle (1,1)}$. Un vettore ${\displaystyle v}$ come un tensore ${\displaystyle v^{c}}$ di tipo ${\displaystyle (1,0)}$. Il vettore ${\displaystyle u=T(v)}$ è quindi

${\displaystyle u^{b}=T_{i}^{b}v^{i}.}$

Una forma bilineare ${\displaystyle T}$ può essere descritta come un tensore ${\displaystyle T_{ab}}$. Dati due vettori ${\displaystyle v^{c}}$ e ${\displaystyle w^{d}}$, lo scalare ${\displaystyle T(v,w)}$ è dato da

${\displaystyle T(v,w)=T_{ij}v^{i}w^{j}.}$

• (EN) Campbell, J. E., 1926 A Course Of Differential Geometry Clarendon Press, Oxford
• (EN) Bowen, R. M., Wang, C. C., 1976, Introduction to vectors and tensors, Vol 1: linear and multilinear algebra^{[collegamento interrotto]}, Plenum Press, New York, NY.
• (EN) Bowen, Ray M. e Wang, C. C., Introduction to vectors and tensors, Vol 2: vector and tensor analysis, su handle.tamu.edu, OAKTrust, 2006. URL consultato l'8 gennaio 2022 (archiviato dall'url originale il 12 marzo 2018).
• (EN) John Lighton Synge, Alfred Schild (1978): Tensor Calculus, Dover, ISBN 0486636127
• (EN) John H. Heinbockel: Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics, Trafford Publishing, ISBN 1-55369-133-4

• Tensore
• Diade (calcolo tensoriale)
• Algebra tensoriale
• Operatore nabla
• Vettore (matematica)

• (EN) tensor analysis, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Calcolo tensoriale / Calcolo tensoriale (altra versione), su MathWorld, Wolfram Research.

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