Appassionata di musica fin da piccola, si iscrive al New York Conservatory for Dramatic Arts, dove si laurea nel 2009.[1]
Nel 2016, Ashleigh ha ottenuto una parte regolare nella serie TV Riverdale, interpretando Josie McCoy, amica di Cheryl Blossom, è la cantante principale della popolare band 'Josie and the Pussycats'.[2]
Murray ha recitato e interpretato il ruolo principale nel film NetflixDeidra & Laney Rob a Train nel 2017. Il film è stato presentato in anteprima mondiale al Sundance Film Festival il 23 gennaio 2017. È stato rilasciato il 17 marzo 2017 da Netflix.[3]
Nel 2017, è stato annunciato che Murray si è unito al cast del remake musicale nei panni di Loryn.[4]
Nel febbraio 2019, è stato annunciato che Ashleigh si è unita al cast principale dello spin-off di Riverdale, Katy Keene, sempre nei panni di Josie McCoy.[5]