La radice ${\displaystyle n}$-esima, ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{A}},}$ di un numero reale ${\displaystyle A}$ non negativo, è la soluzione reale non negativa dell'equazione

${\displaystyle x^{n}=A.}$

In questa voce è descritto un metodo numerico, che converge velocemente, per il calcolo di questa radice. I passi dell'algoritmo sono:

1. si prova a stimare un valore iniziale di partenza ${\displaystyle x_{0};}$
2. si pone ${\displaystyle x_{k+1}={\frac {1}{n}}\left({(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right),}$ che equivale a ${\displaystyle x_{k+1}=x_{k}+\Delta x_{k},}$ con ${\displaystyle \Delta x_{k}={\frac {1}{n}}\left({\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}-x_{k}\right);}$
3. si ripete il secondo passo fino a che si raggiunge la precisione desiderata, cioè ${\displaystyle |\Delta x_{k}|<\varepsilon .}$

Un caso speciale è il calcolo numerico della radice quadrata, cioè il caso ${\displaystyle n=2}$:

${\displaystyle x_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(x_{k}+{\frac {A}{x_{k}}}\right).}$

La derivazione dell'algoritmo si basa sul metodo numerico di Newton-Raphson.

Il metodo delle tangenti o di Newton-Raphson è un metodo per trovare numericamente lo zero di una funzione${\displaystyle f(x).}$ Lo schema generale è:

1. partire da una stima iniziale ${\displaystyle x_{0};}$
2. ${\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-{\frac {f(x_{k})}{f'(x_{k})}};}$
3. ripetere il secondo passo fino a che si raggiunga la precisione desiderata.

Il calcolo numerico della radice ${\displaystyle n}$-esima si può concepire come la ricerca di uno zero della funzione ${\displaystyle f(x)=x^{n}-A,}$ la cui derivata è:

${\displaystyle f^{\prime }(x)=nx^{n-1}.}$

In questo modo si costruisce l'iterazione:

${\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-{\frac {f(x_{k})}{f'(x_{k})}}}$

${\displaystyle =x_{k}-{\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1}}}}$

${\displaystyle =x_{k}-{\frac {x_{k}}{n}}+{\frac {A}{nx_{k}^{n-1}}}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{n}}\left({(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right).}$

Si vuole calcolare la radice quarta di

Si imposta un primo valore, ad esempio 1000. Utilizzando un foglio di calcolo si può verificare una veloce convergenza:

• Kendall E. Atkinson, An introduction to numerical analysis, 2nd, New York, Wiley, 1989, ISBN 0-471-62489-6.

• Metodi per il calcolo della radice quadrata
• Metodo delle tangenti

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