Daerah "feasible" dalam pemrograman linear merupakan kumpulan dari beberapa pertidaksamaan. Pertidaksamaan dalam matematika adalah kalimat/pernyataan matematika yang menunjukkan perbandingan ukuran dua objek atau lebih. Dua notasi dasar dalam pertidaksamaan adalah:
Notasi pertidaksamaan
Notasi
Arti
Contoh
<
lebih kecil
2 < 3
>
lebih besar
3 > 2
≤
lebih kecil atau sama dengan
2 ≤ 3
≥
lebih besar atau sama dengan
3 ≥ 2
≠
tidak sama dengan
2 ≠ 3
a < x < b
diantara a dan b
2 < x < 5
a ≤ x < b
diantara a dan b bila ada a
2 ≤ x < 5
a < x ≤ b
diantara a dan b bila ada b
2 < x ≤ 5
a ≤ x ≤ b
diantara a dan b bila ada a dan b
2 ≤ x ≤ 5
x < a v x > b
kurang dari a atau lebih dari b
x < 2 v x > 5
x ≤ a v x > b
maksimal a atau lebih dari b
x ≤ 2 v x < 5
x < a v x ≥ b
kurang dari a atau minimal b
x < 2 v x ≥ 5
x ≤ a v x ≥ b
maksimal a atau minimal b
x ≤ 2 v x ≥ 5
Jenis-jenis pertidaksamaan
Pertidaksamaan Linear
Tentukan nilai x dari pertidaksamaan
6
x
− − -->
7
<
5
x
+
3
{\displaystyle 6x-7<5x+3}
6
x
− − -->
7
<
5
x
+
3
{\displaystyle 6x-7<5x+3}
6
x
− − -->
5
x
<
3
+
7
{\displaystyle 6x-5x<3+7}
x
<
10
{\displaystyle x<10}
H
P
=
{
x
|
x
<
10
,
x
∈ ∈ -->
R
}
{\displaystyle HP=\{x|x<10,x\in R\}}
Tentukan nilai x dari pertidaksamaan
5
− − -->
2
x
≥ ≥ -->
4
x
− − -->
1
{\displaystyle 5-2x\geq 4x-1}
5
− − -->
2
x
≥ ≥ -->
4
x
− − -->
1
{\displaystyle 5-2x\geq 4x-1}
− − -->
2
x
− − -->
4
x
≥ ≥ -->
− − -->
1
− − -->
5
{\displaystyle -2x-4x\geq -1-5}
− − -->
6
x
≥ ≥ -->
− − -->
6
{\displaystyle -6x\geq -6}
x
≤ ≤ -->
1
{\displaystyle x\leq 1}
H
P
=
{
x
|
x
≤ ≤ -->
1
,
x
∈ ∈ -->
R
}
{\displaystyle HP=\{x|x\leq 1,x\in R\}}
Pertidaksamaan Kuadrat
Tentukan nilai x dari pertidaksamaan
x
2
− − -->
7
x
>
10
− − -->
4
x
{\displaystyle x^{2}-7x>10-4x}
x
2
− − -->
7
x
>
10
− − -->
4
x
{\displaystyle x^{2}-7x>10-4x}
x
2
− − -->
3
x
− − -->
10
>
0
{\displaystyle x^{2}-3x-10>0}
dibuat harga nol
x
2
− − -->
3
x
− − -->
10
=
0
{\displaystyle x^{2}-3x-10=0}
(
x
+
2
)
(
x
− − -->
5
)
=
0
{\displaystyle (x+2)(x-5)=0}
x
=
− − -->
2
∨ ∨ -->
x
=
5
{\displaystyle x=-2\lor x=5}
dibuat irisan
H
P
=
{
x
|
x
<
− − -->
2
∨ ∨ -->
x
>
5
,
x
∈ ∈ -->
R
}
{\displaystyle HP=\{x|x<-2\lor x>5,x\in R\}}
Tentukan nilai x dari pertidaksamaan
2
− − -->
x
2
≤ ≤ -->
x
− − -->
10
{\displaystyle 2-x^{2}\leq x-10}
2
− − -->
x
2
≤ ≤ -->
x
− − -->
10
{\displaystyle 2-x^{2}\leq x-10}
x
2
+
x
− − -->
12
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle x^{2}+x-12\geq 0}
dibuat harga nol
x
2
+
x
− − -->
12
=
0
{\displaystyle x^{2}+x-12=0}
(
x
+
4
)
(
x
− − -->
3
)
=
0
{\displaystyle (x+4)(x-3)=0}
x
=
− − -->
4
∨ ∨ -->
x
=
3
{\displaystyle x=-4\lor x=3}
dibuat irisan
(-4)
(3)
+++
—
----
—
+++
H
P
=
{
x
|
x
≤ ≤ -->
− − -->
4
∨ ∨ -->
x
≥ ≥ -->
3
,
x
∈ ∈ -->
R
}
{\displaystyle HP=\{x|x\leq -4\lor x\geq 3,x\in R\}}
Pertidaksamaan Irasional
Dalam bentuk pertidaksamaan irasional sebagai berikut:
f
(
x
)
<
g
(
x
)
{\displaystyle {\sqrt {f(x)}}<{\sqrt {g(x)}}}
f
(
x
)
>
g
(
x
)
{\displaystyle {\sqrt {f(x)}}>{\sqrt {g(x)}}}
kuadratkan kedua sisinya akan menjadi
f
(
x
)
<
g
(
x
)
{\displaystyle f(x)<g(x)}
f
(
x
)
>
g
(
x
)
{\displaystyle f(x)>g(x)}
Tentukan nilai x dari pertidaksamaan
x
2
− − -->
4
x
<
10
− − -->
x
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}-4x}}<{\sqrt {10-x}}}
x
2
− − -->
4
x
<
10
− − -->
x
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}-4x}}<{\sqrt {10-x}}}
(
x
2
− − -->
4
x
)
2
<
(
10
− − -->
x
)
2
{\displaystyle ({\sqrt {x^{2}-4x}})^{2}<({\sqrt {10-x}})^{2}}
x
2
− − -->
4
x
<
10
− − -->
x
{\displaystyle x^{2}-4x<10-x}
x
2
− − -->
3
x
− − -->
10
<
0
{\displaystyle x^{2}-3x-10<0}
Irisan 1
x
2
− − -->
3
x
− − -->
10
<
0
{\displaystyle x^{2}-3x-10<0}
dibuat harga nol
x
2
− − -->
3
x
− − -->
10
=
0
{\displaystyle x^{2}-3x-10=0}
(
x
+
2
)
(
x
− − -->
5
)
=
0
{\displaystyle (x+2)(x-5)=0}
x
=
− − -->
2
∨ ∨ -->
x
=
5
{\displaystyle x=-2\lor x=5}
karena ada syarat akar maka:
Irisan 2
x
2
− − -->
4
x
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle x^{2}-4x\geq 0}
dibuat harga nol
x
2
− − -->
4
x
=
0
{\displaystyle x^{2}-4x=0}
x
(
x
− − -->
4
)
=
0
{\displaystyle x(x-4)=0}
x
=
0
∨ ∨ -->
x
=
4
{\displaystyle x=0\lor x=4}
Irisan 3
10
− − -->
x
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle 10-x\geq 0}
x
≤ ≤ -->
10
{\displaystyle x\leq 10}
gabungkan umum dan syarat
Irisan
-2
(0)
(4)
5
(10)
pertama
tidak
—
ya
—
ya
—
ya
—
tidak
—
tidak
kedua
ya
—
ya
—
tidak
—
ya
—
ya
—
ya
ketiga
ya
—
ya
—
ya
—
ya
—
ya
—
tidak
H
P
=
{
x
|
− − -->
2
<
x
≤ ≤ -->
0
∨ ∨ -->
4
≤ ≤ -->
x
<
5
,
x
∈ ∈ -->
R
}
{\displaystyle HP=\{x|-2<x\leq 0\lor 4\leq x<5,x\in R\}}
Tentukan nilai x dari pertidaksamaan
x
2
− − -->
4
≥ ≥ -->
3
x
+
50
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}-4}}\geq {\sqrt {3x+50}}}
x
2
− − -->
4
≥ ≥ -->
3
x
+
50
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}-4}}\geq {\sqrt {3x+50}}}
(
x
2
− − -->
4
)
2
≥ ≥ -->
(
3
x
+
50
)
2
{\displaystyle ({\sqrt {x^{2}-4}})^{2}\geq ({\sqrt {3x+50}})^{2}}
x
2
− − -->
4
≥ ≥ -->
3
x
+
50
{\displaystyle x^{2}-4\geq 3x+50}
x
2
− − -->
3
x
− − -->
54
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle x^{2}-3x-54\geq 0}
Irisan 1
x
2
− − -->
3
x
− − -->
54
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle x^{2}-3x-54\geq 0}
dibuat harga nol
x
2
− − -->
3
x
− − -->
54
=
0
{\displaystyle x^{2}-3x-54=0}
(
x
+
6
)
(
x
− − -->
9
)
=
0
{\displaystyle (x+6)(x-9)=0}
x
=
− − -->
6
∨ ∨ -->
x
=
9
{\displaystyle x=-6\lor x=9}
karena ada syarat akar maka:
Irisan 2
x
2
− − -->
4
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle x^{2}-4\geq 0}
dibuat harga nol
x
2
− − -->
4
=
0
{\displaystyle x^{2}-4=0}
(
x
+
2
)
(
x
− − -->
2
)
=
0
{\displaystyle (x+2)(x-2)=0}
x
=
− − -->
2
∨ ∨ -->
x
=
2
{\displaystyle x=-2\lor x=2}
Irisan 3
3
x
+
50
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle 3x+50\geq 0}
x
≥ ≥ -->
− − -->
50
3
{\displaystyle x\geq -{\frac {50}{3}}}
gabungkan umum dan syarat
Irisan
(-50/3)
(-6)
(-2)
(2)
(9)
pertama
ya
—
ya
—
tidak
—
tidak
—
tidak
—
ya
kedua
ya
—
ya
—
ya
—
tidak
—
ya
—
ya
ketiga
tidak
—
ya
—
ya
—
ya
—
ya
—
ya
H
P
=
{
x
|
− − -->
50
3
≤ ≤ -->
x
≤ ≤ -->
− − -->
6
∨ ∨ -->
x
≥ ≥ -->
9
,
x
∈ ∈ -->
R
}
{\displaystyle HP=\{x|{\frac {-50}{3}}\leq x\leq -6\lor x\geq 9,x\in R\}}
Pertidaksamaan Pecahan
Dalam bentuk pertidaksamaan pecahan sebagai berikut:
f
(
x
)
g
(
x
)
∗ ∗ -->
0
{\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}*0}
di mana
f
(
x
)
,
g
(
x
)
{\displaystyle f(x),g(x)}
fungsi aljabar dengan
g
(
x
)
≠ ≠ -->
0
{\displaystyle g(x)\neq 0}
∗ ∗ -->
{\displaystyle *}
Tentukan nilai x dari pertidaksamaan
x
− − -->
4
x
− − -->
3
<
x
+
1
x
− − -->
2
{\displaystyle {\frac {x-4}{x-3}}<{\frac {x+1}{x-2}}}
x
− − -->
4
x
− − -->
3
<
x
+
1
x
− − -->
2
{\displaystyle {\frac {x-4}{x-3}}<{\frac {x+1}{x-2}}}
x
− − -->
4
x
− − -->
3
− − -->
x
+
1
x
− − -->
2
<
0
{\displaystyle {\frac {x-4}{x-3}}-{\frac {x+1}{x-2}}<0}
(
x
− − -->
4
)
(
x
− − -->
2
)
− − -->
(
x
+
1
)
(
x
− − -->
3
)
(
x
− − -->
3
)
(
x
− − -->
2
)
<
0
{\displaystyle {\frac {(x-4)(x-2)-(x+1)(x-3)}{(x-3)(x-2)}}<0}
(
x
2
− − -->
6
x
+
8
)
− − -->
(
x
2
− − -->
2
x
− − -->
3
)
(
x
− − -->
3
)
(
x
− − -->
2
)
<
0
{\displaystyle {\frac {(x^{2}-6x+8)-(x^{2}-2x-3)}{(x-3)(x-2)}}<0}
− − -->
4
x
+
11
(
x
− − -->
3
)
(
x
− − -->
2
)
<
0
{\displaystyle {\frac {-4x+11}{(x-3)(x-2)}}<0}
− − -->
4
x
+
11
<
0
{\displaystyle -4x+11<0}
x
<
11
4
{\displaystyle x<{\frac {11}{4}}}
karena ada syarat pecahan maka:
penyebut 1
x
− − -->
3
≠ ≠ -->
0
{\displaystyle x-3\neq 0}
x
≠ ≠ -->
3
{\displaystyle x\neq 3}
penyebut 2
x
− − -->
2
≠ ≠ -->
0
{\displaystyle x-2\neq 0}
x
≠ ≠ -->
2
{\displaystyle x\neq 2}
dibuat irisan
2
11/4
3
+++
—
----
—
+++
—
----
H
P
=
{
x
|
2
<
x
<
11
4
∨ ∨ -->
x
>
3
,
x
∈ ∈ -->
R
}
{\displaystyle HP=\{x|2<x<{\frac {11}{4}}\lor x>3,x\in R\}}
Tentukan nilai x dari pertidaksamaan
x
+
6
x
+
17
≥ ≥ -->
1
x
− − -->
3
{\displaystyle {\frac {x+6}{x+17}}\geq {\frac {1}{x-3}}}
x
+
6
x
+
17
≥ ≥ -->
1
x
− − -->
3
{\displaystyle {\frac {x+6}{x+17}}\geq {\frac {1}{x-3}}}
x
+
6
x
+
17
− − -->
1
x
− − -->
3
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle {\frac {x+6}{x+17}}-{\frac {1}{x-3}}\geq 0}
(
x
+
6
)
(
x
− − -->
3
)
− − -->
(
x
+
17
)
(
x
+
17
)
(
x
− − -->
3
)
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle {\frac {(x+6)(x-3)-(x+17)}{(x+17)(x-3)}}\geq 0}
x
2
+
3
x
− − -->
18
− − -->
x
− − -->
17
(
x
+
17
)
(
x
− − -->
3
)
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}+3x-18-x-17}{(x+17)(x-3)}}\geq 0}
x
2
+
2
x
− − -->
35
(
x
− − -->
3
)
(
x
− − -->
2
)
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}+2x-35}{(x-3)(x-2)}}\geq 0}
x
2
+
2
x
− − -->
35
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle x^{2}+2x-35\geq 0}
dibuat harga nol
x
2
+
2
x
− − -->
35
=
0
{\displaystyle x^{2}+2x-35=0}
(
x
+
7
)
(
x
− − -->
5
)
=
0
{\displaystyle (x+7)(x-5)=0}
x
=
− − -->
7
∨ ∨ -->
x
=
5
{\displaystyle x=-7\lor x=5}
karena ada syarat pecahan maka:
penyebut 1
x
+
17
≠ ≠ -->
0
{\displaystyle x+17\neq 0}
x
≠ ≠ -->
− − -->
17
{\displaystyle x\neq -17}
penyebut 2
x
− − -->
3
≠ ≠ -->
0
{\displaystyle x-3\neq 0}
x
≠ ≠ -->
3
{\displaystyle x\neq 3}
dibuat irisan
-17
(-7)
3
(5)
+++
—
----
—
+++
—
----
—
+++
H
P
=
{
x
|
x
<
− − -->
17
∨ ∨ -->
− − -->
7
≤ ≤ -->
x
<
3
∨ ∨ -->
x
≥ ≥ -->
5
,
x
∈ ∈ -->
R
}
{\displaystyle HP=\{x|x<-17\lor -7\leq x<3\lor x\geq 5,x\in R\}}
Pertidaksamaan Mutlak
Dalam bentuk pertidaksamaan mutlak sebagai berikut:
Model I
|
f
(
x
)
|
<
k
{\displaystyle |f(x)|<k}
|
f
(
x
)
|
>
k
{\displaystyle |f(x)|>k}
haruslah mempunyai dua nilai yaitu
|
f
(
x
)
|
=
{
|
f
(
x
)
|
<
k
,
maka penyelesaian
− − -->
k
<
f
(
x
)
<
k
|
f
(
x
)
|
>
k
,
maka penyelesaian
f
(
x
)
<
− − -->
k
∨ ∨ -->
f
(
x
)
>
k
{\displaystyle |f(x)|=\left\{{\begin{matrix}|f(x)|<k,&{\mbox{maka penyelesaian}}-k<f(x)<k\\\\|f(x)|>k,&{\mbox{maka penyelesaian}}f(x)<-k\lor f(x)>k\end{matrix}}\right.}
Model II Jika
|
f
(
x
)
|
<
|
g
(
x
)
|
{\displaystyle |f(x)|<|g(x)|}
|
f
(
x
)
|
>
|
g
(
x
)
|
{\displaystyle |f(x)|>|g(x)|}
[
f
(
x
)
]
2
− − -->
[
g
(
x
)
]
2
<
0
{\displaystyle [f(x)]^{2}-[g(x)]^{2}<0}
[
f
(
x
)
]
2
− − -->
[
g
(
x
)
]
2
>
0
{\displaystyle [f(x)]^{2}-[g(x)]^{2}>0}
Model III Jika
a
<
|
f
(
x
)
|
<
b
{\displaystyle a<|f(x)|<b}
a
<
|
f
(
x
)
|
<
b
{\displaystyle a<|f(x)|<b}
− − -->
b
<
|
f
(
x
)
|
<
− − -->
a
{\displaystyle -b<|f(x)|<-a}
begitupula
g
(
x
)
<
|
f
(
x
)
|
<
h
(
x
)
{\displaystyle g(x)<|f(x)|<h(x)}
Model IV Jika
|
f
(
x
)
|
{\displaystyle |f(x)|}
f
(
x
)
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle f(x)\geq 0}
f
(
x
)
<
0
{\displaystyle f(x)<0}
Pertidaksamaan mutlak akan memungkinkan definit + dan - karena tidak memotong dan menyinggung sumbu y.
Tentukan nilai x dari pertidaksamaan
|
x
2
+
x
|
<
12
{\displaystyle |x^{2}+x|<12}
|
x
2
+
x
|
<
12
{\displaystyle |x^{2}+x|<12}
karena f(x) < g(x) maka penyelesaian -g(x) < f(x) < g(x)
− − -->
12
<
x
2
+
x
<
12
{\displaystyle -12<x^{2}+x<12}
untuk
− − -->
12
<
x
2
+
x
{\displaystyle -12<x^{2}+x}
− − -->
12
<
x
2
+
x
{\displaystyle -12<x^{2}+x}
x
2
+
x
+
12
>
0
{\displaystyle x^{2}+x+12>0}
untuk
x
2
+
x
<
12
{\displaystyle x^{2}+x<12}
x
2
+
x
<
12
{\displaystyle x^{2}+x<12}
x
2
+
x
− − -->
12
<
0
{\displaystyle x^{2}+x-12<0}
dibuat harga nol
x
2
+
x
− − -->
12
=
0
{\displaystyle x^{2}+x-12=0}
(
x
+
4
)
(
x
− − -->
3
)
<
0
{\displaystyle (x+4)(x-3)<0}
x
=
− − -->
4
∨ ∨ -->
x
=
3
{\displaystyle x=-4\lor x=3}
dibuat irisan
− − -->
4
<
x
<
3
{\displaystyle -4<x<3}
H
P
=
{
x
|
− − -->
4
<
x
<
3
,
x
∈ ∈ -->
R
}
{\displaystyle HP=\{x|-4<x<3,x\in R\}}
Tentukan nilai x dari persamaan
|
x
2
− − -->
4
x
− − -->
12
|
− − -->
|
7
− − -->
6
x
|
≥ ≥ -->
5
{\displaystyle |x^{2}-4x-12|-|7-6x|\geq 5}
terlebih dahulu untuk mempunyai batas-batas yang ada untuk | x^2 - 4x - 12 |
|
x
2
− − -->
4
x
− − -->
12
|
=
{
x
2
− − -->
4
x
− − -->
12
,
maka penyelesaian
x
2
− − -->
4
x
− − -->
12
≥ ≥ -->
0
− − -->
(
x
2
− − -->
4
x
− − -->
12
)
,
maka penyelesaian
x
2
− − -->
4
x
− − -->
12
<
0
{\displaystyle |x^{2}-4x-12|=\left\{{\begin{matrix}x^{2}-4x-12,&{\mbox{maka penyelesaian}}x^{2}-4x-12\geq 0\\\\-(x^{2}-4x-12),&{\mbox{maka penyelesaian}}x^{2}-4x-12<0\end{matrix}}\right.}
batasan f(x)
x
2
− − -->
4
x
− − -->
12
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle x^{2}-4x-12\geq 0}
dibuat harga nol
x
2
− − -->
4
x
− − -->
12
=
0
{\displaystyle x^{2}-4x-12=0}
(
x
+
2
)
(
x
− − -->
6
)
=
0
{\displaystyle (x+2)(x-6)=0}
x
=
− − -->
2
∨ ∨ -->
x
=
6
{\displaystyle x=-2\lor x=6}
dibuat irisan
x
≤ ≤ -->
− − -->
2
∨ ∨ -->
x
≥ ≥ -->
6
{\displaystyle x\leq -2\lor x\geq 6}
batasan -f(x)
x
2
− − -->
4
x
− − -->
12
<
0
{\displaystyle x^{2}-4x-12<0}
dibuat harga nol
x
2
− − -->
4
x
− − -->
12
=
0
{\displaystyle x^{2}-4x-12=0}
(
x
+
2
)
(
x
− − -->
6
)
=
0
{\displaystyle (x+2)(x-6)=0}
x
=
− − -->
2
∨ ∨ -->
x
=
6
{\displaystyle x=-2\lor x=6}
dibuat irisan
− − -->
2
<
x
<
6
{\displaystyle -2<x<6}
untuk | 7 - 6x |
|
7
− − -->
6
x
|
=
{
7
− − -->
6
x
,
maka penyelesaian
7
− − -->
6
x
≥ ≥ -->
0
− − -->
(
7
− − -->
6
x
)
,
maka penyelesaian
7
− − -->
6
x
<
0
{\displaystyle |7-6x|=\left\{{\begin{matrix}7-6x,&{\mbox{maka penyelesaian}}7-6x\geq 0\\\\-(7-6x),&{\mbox{maka penyelesaian}}7-6x<0\end{matrix}}\right.}
batasan f(x)
7
− − -->
6
x
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle 7-6x\geq 0}
x
≤ ≤ -->
7
6
{\displaystyle x\leq {\frac {7}{6}}}
batasan -f(x)
7
− − -->
6
x
<
0
{\displaystyle 7-6x<0}
x
>
7
6
{\displaystyle x>{\frac {7}{6}}}
keempat batas-batas akan dibuat irisan
irisan
-2
7/6
6
pertama
x^2 - 4x - 12
—
—
—
x^2 - 4x - 12
kedua
—
-(x^2 - 4x - 12)
—
-(x^2 - 4x - 12)
—
ketiga
7 - 6x
—
7 - 6x
—
—
keempat
—
—
-(7 - 6x)
—
-(7 - 6x)
untuk x <= -2
x
2
− − -->
4
x
− − -->
12
− − -->
(
7
− − -->
6
x
)
≥ ≥ -->
5
{\displaystyle x^{2}-4x-12-(7-6x)\geq 5}
x
2
− − -->
4
x
− − -->
12
− − -->
7
+
6
x
− − -->
5
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle x^{2}-4x-12-7+6x-5\geq 0}
x
2
+
2
x
− − -->
24
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle x^{2}+2x-24\geq 0}
dibuat harga nol
x
2
+
2
x
− − -->
24
=
0
{\displaystyle x^{2}+2x-24=0}
(
x
+
6
)
(
x
− − -->
4
)
=
0
{\displaystyle (x+6)(x-4)=0}
x
=
− − -->
6
∨ ∨ -->
x
=
4
{\displaystyle x=-6\lor x=4}
dibuat irisan
(-6)
(-2)
(4)
Ya
—
Ya
—
Tidak
—
Tidak
+++
—
----
—
----
—
+++
x
≤ ≤ -->
− − -->
6
{\displaystyle x\leq -6}
untuk -2 < x <= 7/6
− − -->
(
x
2
− − -->
4
x
− − -->
12
)
− − -->
(
7
− − -->
6
x
)
≥ ≥ -->
5
{\displaystyle -(x^{2}-4x-12)-(7-6x)\geq 5}
− − -->
x
2
+
4
x
+
12
− − -->
7
+
6
x
− − -->
5
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle -x^{2}+4x+12-7+6x-5\geq 0}
x
2
− − -->
10
x
≤ ≤ -->
0
{\displaystyle x^{2}-10x\leq 0}
dibuat harga nol
x
2
− − -->
10
x
=
0
{\displaystyle x^{2}-10x=0}
x
(
x
− − -->
10
)
=
0
{\displaystyle x(x-10)=0}
x
=
0
∨ ∨ -->
x
=
10
{\displaystyle x=0\lor x=10}
dibuat irisan
-2
(0)
(7/6)
(10)
Tidak
—
Ya
—
Ya
—
Tidak
—
Tidak
+++
—
+++
—
----
—
----
—
+++
0
≤ ≤ -->
x
≤ ≤ -->
7
6
{\displaystyle 0\leq x\leq {\frac {7}{6}}}
untuk 7/6 < x < 6
− − -->
(
x
2
− − -->
4
x
− − -->
12
)
− − -->
(
− − -->
(
7
− − -->
6
x
)
)
≥ ≥ -->
5
{\displaystyle -(x^{2}-4x-12)-(-(7-6x))\geq 5}
− − -->
x
2
+
4
x
+
12
+
7
− − -->
6
x
− − -->
5
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle -x^{2}+4x+12+7-6x-5\geq 0}
x
2
+
2
x
≤ ≤ -->
0
{\displaystyle x^{2}+2x\leq 0}
dibuat harga nol
x
2
+
2
x
=
0
{\displaystyle x^{2}+2x=0}
x
(
x
+
2
)
=
0
{\displaystyle x(x+2)=0}
x
=
0
∨ ∨ -->
x
=
− − -->
2
{\displaystyle x=0\lor x=-2}
dibuat irisan
(-2)
(0)
7/6
6
Tidak
—
Tidak
—
Tidak
—
Ya
—
Tidak
+++
—
----
—
+++
—
+++
—
+++
∅ ∅ -->
{\displaystyle \varnothing }
untuk x >= 6
x
2
− − -->
4
x
− − -->
12
− − -->
(
− − -->
(
7
− − -->
6
x
)
)
≥ ≥ -->
5
{\displaystyle x^{2}-4x-12-(-(7-6x))\geq 5}
x
2
− − -->
4
x
− − -->
12
+
7
− − -->
6
x
− − -->
5
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle x^{2}-4x-12+7-6x-5\geq 0}
x
2
− − -->
10
x
− − -->
10
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle x^{2}-10x-10\geq 0}
∅ ∅ -->
{\displaystyle \varnothing }
gabungkan keempat batas-batas (sesuai dengan himpunan gabungan). jadi:
H
P
=
{
x
|
x
≤ ≤ -->
− − -->
6
∨ ∨ -->
0
≤ ≤ -->
x
≤ ≤ -->
7
6
,
x
∈ ∈ -->
R
}
{\displaystyle HP=\{x|x\leq -6\lor 0\leq x\leq {\frac {7}{6}},x\in R\}}
Tentukan nilai x dari pertidaksamaan
|
x
+
4
10
− − -->
x
|
<
|
1
x
− − -->
2
|
{\displaystyle |{\frac {x+4}{10-x}}|<|{\frac {1}{x-2}}|}
|
x
+
4
10
− − -->
x
|
<
|
1
x
− − -->
2
|
{\displaystyle |{\frac {x+4}{10-x}}|<|{\frac {1}{x-2}}|}
(
x
+
4
10
− − -->
x
)
2
<
(
1
x
− − -->
2
)
2
{\displaystyle ({\frac {x+4}{10-x}})^{2}<({\frac {1}{x-2}})^{2}}
(
x
+
4
10
− − -->
x
)
2
− − -->
(
1
x
− − -->
2
)
2
<
0
{\displaystyle ({\frac {x+4}{10-x}})^{2}-({\frac {1}{x-2}})^{2}<0}
(
x
+
4
10
− − -->
x
+
1
x
− − -->
2
)
(
x
+
4
10
− − -->
x
− − -->
1
x
− − -->
2
)
<
0
{\displaystyle ({\frac {x+4}{10-x}}+{\frac {1}{x-2}})({\frac {x+4}{10-x}}-{\frac {1}{x-2}})<0}
(
(
x
+
4
)
(
x
− − -->
2
)
+
10
− − -->
x
(
10
− − -->
x
)
(
x
− − -->
2
)
)
(
(
x
+
4
)
(
x
− − -->
2
)
− − -->
(
10
− − -->
x
)
(
10
− − -->
x
)
(
x
− − -->
2
)
)
<
0
{\displaystyle ({\frac {(x+4)(x-2)+10-x}{(10-x)(x-2)}})({\frac {(x+4)(x-2)-(10-x)}{(10-x)(x-2)}})<0}
(
x
2
+
2
x
− − -->
8
+
10
− − -->
x
(
10
− − -->
x
)
(
x
− − -->
2
)
)
(
x
2
+
2
x
− − -->
8
− − -->
10
+
x
(
10
− − -->
x
)
(
x
− − -->
2
)
)
<
0
{\displaystyle ({\frac {x^{2}+2x-8+10-x}{(10-x)(x-2)}})({\frac {x^{2}+2x-8-10+x}{(10-x)(x-2)}})<0}
(
x
2
+
x
+
2
(
10
− − -->
x
)
(
x
− − -->
2
)
)
(
x
2
+
3
x
− − -->
18
(
10
− − -->
x
)
(
x
− − -->
2
)
)
<
0
{\displaystyle ({\frac {x^{2}+x+2}{(10-x)(x-2)}})({\frac {x^{2}+3x-18}{(10-x)(x-2)}})<0}
akar dari
x
2
+
x
+
2
(
10
− − -->
x
)
(
x
− − -->
2
)
{\displaystyle {\frac {x^{2}+x+2}{(10-x)(x-2)}}}
x
2
+
x
+
2
(
10
− − -->
x
)
(
x
− − -->
2
)
<
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}+x+2}{(10-x)(x-2)}}<0}
x
2
+
x
+
2
=
0
{\displaystyle x^{2}+x+2=0}
karena ada syarat pecahan maka:
penyebut 1
10
− − -->
x
≠ ≠ -->
0
{\displaystyle 10-x\neq 0}
x
≠ ≠ -->
10
{\displaystyle x\neq 10}
penyebut 2
x
− − -->
2
≠ ≠ -->
0
{\displaystyle x-2\neq 0}
x
≠ ≠ -->
2
{\displaystyle x\neq 2}
akar dari
x
2
+
3
x
− − -->
18
(
10
− − -->
x
)
(
x
− − -->
2
)
{\displaystyle {\frac {x^{2}+3x-18}{(10-x)(x-2)}}}
x
2
+
3
x
− − -->
18
(
10
− − -->
x
)
(
x
− − -->
2
)
<
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}+3x-18}{(10-x)(x-2)}}<0}
x
2
+
3
x
− − -->
18
<
0
{\displaystyle x^{2}+3x-18<0}
dibuat harga nol
x
2
+
3
x
− − -->
18
=
0
{\displaystyle x^{2}+3x-18=0}
(
x
+
6
)
(
x
− − -->
3
)
=
0
{\displaystyle (x+6)(x-3)=0}
x
=
− − -->
6
∨ ∨ -->
x
=
3
{\displaystyle x=-6\lor x=3}
karena ada syarat pecahan maka:
penyebut 1
10
− − -->
x
≠ ≠ -->
0
{\displaystyle 10-x\neq 0}
x
≠ ≠ -->
10
{\displaystyle x\neq 10}
penyebut 2
x
− − -->
2
≠ ≠ -->
0
{\displaystyle x-2\neq 0}
x
≠ ≠ -->
2
{\displaystyle x\neq 2}
dibuat irisan
-6
2*
3
10*
+++
—
----
—
----
—
+++
—
+++
nb: * = mempunyai 2 akar
H
P
=
{
x
|
− − -->
6
<
x
<
3
,
x
∈ ∈ -->
R
}
{\displaystyle HP=\{x|-6<x<3,x\in R\}}
Tentukan nilai x dari pertidaksamaan
|
x
2
− − -->
4
x
|
≥ ≥ -->
|
3
x
− − -->
10
|
{\displaystyle |{\sqrt {x^{2}-4x}}|\geq |{\sqrt {3x-10}}|}
|
x
2
− − -->
4
x
|
≥ ≥ -->
|
3
x
− − -->
10
|
{\displaystyle |{\sqrt {x^{2}-4x}}|\geq |{\sqrt {3x-10}}|}
(
x
2
− − -->
4
x
)
2
≥ ≥ -->
(
3
x
− − -->
10
)
2
{\displaystyle ({\sqrt {x^{2}-4x}})^{2}\geq ({\sqrt {3x-10}})^{2}}
x
2
− − -->
4
x
≥ ≥ -->
3
x
− − -->
10
{\displaystyle x^{2}-4x\geq 3x-10}
x
2
− − -->
7
x
+
10
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle x^{2}-7x+10\geq 0}
dibuat harga nol
x
2
− − -->
7
x
+
10
=
0
{\displaystyle x^{2}-7x+10=0}
(
x
− − -->
2
)
(
x
− − -->
5
)
=
0
{\displaystyle (x-2)(x-5)=0}
x
=
2
∨ ∨ -->
x
=
5
{\displaystyle x=2\lor x=5}
dibuat irisan
x
≤ ≤ -->
2
∨ ∨ -->
x
≥ ≥ -->
5
{\displaystyle x\leq 2\lor x\geq 5}
karena ada syarat akar maka:
akar 1
x
2
− − -->
4
x
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle x^{2}-4x\geq 0}
dibuat harga nol
x
2
− − -->
4
x
=
0
{\displaystyle x^{2}-4x=0}
x
(
x
− − -->
4
)
=
0
{\displaystyle x(x-4)=0}
x
=
0
∨ ∨ -->
x
=
4
{\displaystyle x=0\lor x=4}
dibuat irisan
x
≤ ≤ -->
0
∨ ∨ -->
x
≥ ≥ -->
4
{\displaystyle x\leq 0\lor x\geq 4}
akar 2
3
x
− − -->
10
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle 3x-10\geq 0}
x
≥ ≥ -->
10
3
{\displaystyle x\geq {\frac {10}{3}}}
gabungkan umum dan syarat
irisan
(0)
(2)
(10/3)
(4)
(5)
pertama
ya
—
ya
—
tidak
—
tidak
—
tidak
—
ya
kedua
ya
—
tidak
—
tidak
—
tidak
—
ya
—
ya
ketiga
tidak
—
tidak
—
tidak
—
ya
—
ya
—
ya
H
P
=
{
x
|
x
≥ ≥ -->
5
,
x
∈ ∈ -->
R
}
{\displaystyle HP=\{x|x\geq 5,x\in R\}}
Pertidaksamaan aritmatika dan geometri
Ada banyak pertidaksamaan antara cara. Contohnya, untuk bilangan positif a 1 , a 2 , …, a n H ≤ G ≤ A ≤ Q ,
H
=
n
1
a
1
+
1
a
2
+
⋯ ⋯ -->
+
1
a
n
{\displaystyle H={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}}
(rata-rata harmonis ),
G
=
a
1
⋅ ⋅ -->
a
2
⋯ ⋯ -->
a
n
n
{\displaystyle G={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{n}}}}
(rata-rata geometris ),
A
=
a
1
+
a
2
+
⋯ ⋯ -->
+
a
n
n
{\displaystyle A={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}}
(rata-rata aritmatika ),
Q
=
a
1
2
+
a
2
2
+
⋯ ⋯ -->
+
a
n
2
n
{\displaystyle Q={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}}
(rata-rata kuadrat ).
Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz menyatakan bahwa untuk semua vektor u dan v dari ruang hasil kali dalam memang benar bahwa
|
⟨ ⟨ -->
u
,
v
⟩ ⟩ -->
|
2
≤ ≤ -->
⟨ ⟨ -->
u
,
u
⟩ ⟩ -->
⋅ ⋅ -->
⟨ ⟨ -->
v
,
v
⟩ ⟩ -->
,
{\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \cdot \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,}
where
⟨ ⟨ -->
⋅ ⋅ -->
,
⋅ ⋅ -->
⟩ ⟩ -->
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
produk dalam . Contoh produk dalam mencakup produk titik nyata dan kompleks; Di ruang Euklides R n
(
∑ ∑ -->
i
=
1
n
u
i
v
i
)
2
≤ ≤ -->
(
∑ ∑ -->
i
=
1
n
u
i
2
)
(
∑ ∑ -->
i
=
1
n
v
i
2
)
.
{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}\right).}
Pertidaksamaan pangkat
Sebuah "pertidaksamaan pangkat " adalah pertidaksamaan yang mengandung istilah bentuk a b a dan b adalah bilangan positif nyata atau ekspresi variabel. Mereka sering muncul dalam latihan olimpiade matematika .
Contoh
e
x
≥ ≥ -->
1
+
x
.
{\displaystyle e^{x}\geq 1+x.}
Bila x > 0 dan p > 0, maka
x
p
− − -->
1
p
≥ ≥ -->
ln
-->
(
x
)
≥ ≥ -->
1
− − -->
1
x
p
p
.
{\displaystyle {\frac {x^{p}-1}{p}}\geq \ln(x)\geq {\frac {1-{\frac {1}{x^{p}}}}{p}}.}
Dalam batas p → 0, batas atas dan bawah bertemu ln(x ).
x
x
≥ ≥ -->
(
1
e
)
1
e
.
{\displaystyle x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{\frac {1}{e}}.}
x
x
x
≥ ≥ -->
x
.
{\displaystyle x^{x^{x}}\geq x.}
(
x
+
y
)
z
+
(
x
+
z
)
y
+
(
y
+
z
)
x
>
2.
{\displaystyle \left(x+y\right)^{z}+\left(x+z\right)^{y}+\left(y+z\right)^{x}>2.}
Untuk bilangan riil a dan b ,
e
b
− − -->
e
a
b
− − -->
a
>
e
(
a
+
b
)
/
2
.
{\displaystyle {\frac {e^{b}-e^{a}}{b-a}}>e^{(a+b)/2}.}
Bila x , y > 0 dan 0 < p < 1, maka
x
p
+
y
p
>
(
x
+
y
)
p
.
{\displaystyle x^{p}+y^{p}>\left(x+y\right)^{p}.}
x
x
y
y
z
z
≥ ≥ -->
(
x
y
z
)
(
x
+
y
+
z
)
/
3
.
{\displaystyle x^{x}y^{y}z^{z}\geq \left(xyz\right)^{(x+y+z)/3}.}
a
a
+
b
b
≥ ≥ -->
a
b
+
b
a
.
{\displaystyle a^{a}+b^{b}\geq a^{b}+b^{a}.}
a
e
a
+
b
e
b
≥ ≥ -->
a
e
b
+
b
e
a
.
{\displaystyle a^{ea}+b^{eb}\geq a^{eb}+b^{ea}.}
a
2
a
+
b
2
b
+
c
2
c
≥ ≥ -->
a
2
b
+
b
2
c
+
c
2
a
.
{\displaystyle a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\geq a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}.}
a
b
+
b
a
>
1.
{\displaystyle a^{b}+b^{a}>1.}
Pertidaksamaan yang terkenal
Matematikawan sering menggunakan pertidaksamaan untuk jumlah terikat yang rumus eksaknya tidak dapat dihitung dengan mudah. Beberapa ketidaksetaraan begitu sering digunakan sehingga memiliki nama:
Lihat pula
Referensi
^ Laub, M.; Ilani, Ishai (1990). "E3116". The American Mathematical Monthly . 97 (1): 65–67. doi :10.2307/2324012 . JSTOR 2324012 . ^ Manyama, S. (2010). "Solution of One Conjecture on Inequalities with Power-Exponential Functions" (PDF) . Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications . 7 (2): 1.
Sumber
Hardy, G., Littlewood J. E., Pólya, G. (1999). Inequalities . Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8 . Beckenbach, E. F., Bellman, R. (1975). An Introduction to Inequalities . Random House Inc. ISBN 0-394-01559-2 . Drachman, Byron C., Cloud, Michael J. (1998). Inequalities: With Applications to Engineering ISBN 0-387-98404-6 . Grinshpan, A. Z. (2005), "General inequalities, consequences, and applications", Advances in Applied Mathematics , 34 (1): 71–100, doi :10.1016/j.aam.2004.05.001 Murray S. Klamkin. "' Quickie' inequalities" (PDF) . Math Strategies . Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2020-10-03. Diakses tanggal 2020-09-27 . Arthur Lohwater (1982). "Introduction to Inequalities" . Online e-book in PDF format. Harold Shapiro (2005). "Mathematical Problem Solving" . The Old Problem Seminar . Kungliga Tekniska högskolan. "3rd USAMO" . Diarsipkan dari versi asli tanggal 2008-02-03. Pachpatte, B. G. (2005). Mathematical Inequalities . North-Holland Mathematical Library. 67 (edisi ke-first). Amsterdam, The Netherlands: Elsevier . ISBN 0-444-51795-2 . ISSN 0924-6509 . MR 2147066 . Zbl 1091.26008 . Ehrgott, Matthias (2005). Multicriteria Optimization . Springer-Berlin. ISBN 3-540-21398-8 . Steele, J. Michael (2004). The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities ISBN 978-0-521-54677-5 .
Pranala luar
Umum Perpustakaan nasional Lain-lain
![{\displaystyle [f(x)]^{2}-[g(x)]^{2}<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/440046f70639699049ca2a5b5bc9264476b99806)
![{\displaystyle [f(x)]^{2}-[g(x)]^{2}>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d39439005e5e74b7c8c75f4bb1c6235fc75969f)
![{\displaystyle G={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4d9a1963e82d8495a2d8fb86f6c52f5150a262c)
