Dalam topologi dan bidang matematika yang terkait, persekitaran (bahasa Inggris: neighborhood, neighbourhood) merupakan salah satu konsep dasar dalam ruang topologi. Konsep persekitaran terkait erat dengan konsep himpunan yang terbuka dan interior. Secara intuitif, persekitaran dari suatu titik adalah himpunan titik yang mengandung titik tersebut, di mana seseorang dapat bergerak beberapa langkah ke segala arah dari titik tersebut tanpa keluar dari himpunan tersebut. Sifat-sifat matematika yang terkait dengan persekitaran tertentu disebut lokal, sebagai lawan dari global.

Jika ${\displaystyle X}$ adalah ruang topologi dan ${\displaystyle p}$ adalah titik dalam ${\displaystyle X}$, persekitaran dari titik ${\displaystyle p}$ adalah himpunan bagian ${\displaystyle V}$ dari ${\displaystyle X}$ yang memuat suatu himpunan terbuka ${\displaystyle U}$ yang memuat ${\displaystyle p,}$ sedemikian sehingga$${\displaystyle p\in U\subseteq V.}$$Definisi ini ekuivalen dengan titik ${\displaystyle p\in X}$ yang termasuk interior topologis dari ${\displaystyle V}$ di dalam ${\displaystyle X.}$

Persekitaran ${\displaystyle V}$ tidak harus suatu himpunan terbuka dalam ${\displaystyle X}$. Akan tetapi ketika ${\displaystyle V}$ terbuka dalam ${\displaystyle X}$, maka ${\displaystyle V}$ disebut "persekitaran buka" (open neighbourhood).^[1] Beberapa penulis mensyaratkan bahwa persekitaran harus terbuka, tetapi harus diperhatikan juga kesepakatan tersebut.^[2]

Suatu himpunan yang menjadi persekitaran bagi semua titik anggotanya adalah terbuka, karena himpunan itu dapat dinyatakan sebagai gabungan dari himpunan-himpunan buka yang memuat tiap-tiap titiknya. Segiempat tertutup, sebagaimana pada gambar berikut, bukan merupakan persekitaran dari semua titik-titiknya. Itu karena titik pada sudut segiempat tidak termuat dalam sebarang himpunan terbuka yang termuat dalam segiempat.

Koleksi dari semua persekitaran dari suatu titik disebut neighbourhood system [en] pada titik.

Jika ${\displaystyle S}$ adalah subhimpunan dari suatu ruang topologis ${\displaystyle X}$, maka persekitaran dari ${\displaystyle S}$ adalah himpunan ${\displaystyle V}$ yang menyertakan suatu himpunan terbuka ${\displaystyle U}$ yang memuat ${\displaystyle S}$:$${\displaystyle S\subseteq U\subseteq V\subseteq X.}$$Definisi di atas menyatakan bahwa suatu himpunan ${\displaystyle V}$ adalah persekitaran dari ${\displaystyle S}$ jika dan hanya jika ${\displaystyle V}$ adalah persekitaran dari semua titik di dalam ${\displaystyle S.}$ Lebih lanjut, ${\displaystyle V}$ adalah persekitaran dari ${\displaystyle S}$ jika dan hanya jika ${\displaystyle S}$ adalah subhimpunan dari interior dari ${\displaystyle V.}$ Suatu persekitaran dari ${\displaystyle S}$ yang juga subhimpunan terbuka dari ${\displaystyle X}$ disebut open neighbourhood dari ${\displaystyle S.}$ Persekitaran dari suatu titik hanyalah kasus istimewa dari definisi ini.

Dalam ruang metrik ${\displaystyle M=(X,d),}$ himpunan ${\displaystyle V}$ adalah persekitaran dari suatu titik ${\displaystyle p}$ jika terdapat suatu bola terbuka yang berpusat pada titik ${\displaystyle p}$ dan berjari-jari ${\displaystyle r>0}$, sehingga$${\displaystyle B_{r}(p)=B(p;r)=\{x\in X:d(x,p)<r\}}$$termuat di dalam ${\displaystyle V}$.

Himpunan ${\displaystyle V}$ disebut uniform neighbourhood dari himpunan ${\displaystyle S}$ jika terdapat suatu bilangan positif ${\displaystyle r}$ sehingga untuk semua anggota ${\displaystyle p}$ dari ${\displaystyle S}$, $${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X:d(x,p)<r\}}$$termuat di dalam ${\displaystyle V.}$

Mengikuti syarat yang sama. Untuk ${\displaystyle r>0}$, persekitaran ${\displaystyle S}$ berjari-jari ${\displaystyle r}$, yang dilambangkan ${\displaystyle S_{r}}$, adalah himpunan dari semua titik di dalam ${\displaystyle X}$ yang berjarak kurang daripada ${\displaystyle r}$ dari ${\displaystyle S}$. Definisi lainnya, ${\displaystyle S_{r}}$ adalah gabungan dari semua bola terbuka berjari-jari ${\displaystyle r}$ yang berpusat pada suatu titik di dalam ${\displaystyle S}$: $${\displaystyle S_{r}=\bigcup \limits _{p\in {}S}B_{r}(p).}$$Hal ini mengikuti secara langsung bahwa persekitaran berjari-jari ${\displaystyle r}$ adalah uniform neighbourhood, dan bahwa suatu himpunan adalah uniform neighbourhood jika dan hanya jika ia memuatu suatu persekitaran berjari-jari ${\displaystyle r}$ untuk suatu nilai ${\displaystyle r}$.

Diketahui bahwa himpunan bilangan real ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dengan ruang metrik Euklides biasa adalah suatu subhimpunan ${\displaystyle V}$ didefinisikan sebagai$${\displaystyle V:=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }B\left(n\,;\,1/n\right),}$$ maka ${\displaystyle V}$ adalah suatu persekitaran untuk himpunan bilangan asli ${\displaystyle \mathbb {N} }$, tetapi sayangnya bukan suatu uniform neighbourhood dari himpunan itu.

• Kelley, John L. (1975). General topology. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90125-6. 
• Bredon, Glen E. (1993). Topology and geometry. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3. 
• Kaplansky, Irving (2001). Set Theory and Metric Spaces. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2694-8. 

Wikimedia Commons memiliki media mengenai Neighborhood (mathematics).