Epsilon Kronecker yang memiliki simbol
ε ε -->
i
j
k
{\displaystyle {{\varepsilon }_{ijk}}}
cross product ). Pada perkalian silang vektor akan menghasilkan,
A
× × -->
B
=
(
A
x
x
^ ^ -->
+
A
y
y
^ ^ -->
+
A
z
z
^ ^ -->
)
× × -->
(
B
x
x
^ ^ -->
+
B
y
y
^ ^ -->
+
B
z
z
^ ^ -->
)
{\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =\left({{A}_{x}}\mathbf {\hat {x}} +{{A}_{y}}\mathbf {\hat {y}} +{{A}_{z}}\mathbf {\hat {z}} \right)\times \left({{B}_{x}}\mathbf {\hat {x}} +{{B}_{y}}\mathbf {\hat {y}} +{{B}_{z}}\mathbf {\hat {z}} \right)}
sedangkan secara sederhana sebuah vektor dapat dituliskan sebagai,
A
=
∑ ∑ -->
i
=
1
3
A
i
n
^ ^ -->
i
{\displaystyle \mathbf {A} =\sum \limits _{i=1}^{3}{{{A}_{i}}{{\mathbf {\hat {n}} }_{i}}}}
dengan,
A
1
=
A
x
;
A
2
=
A
y
;
A
3
=
A
z
{\displaystyle {{A}_{1}}={{A}_{x}};\ {{A}_{2}}={{A}_{y}};\ {{A}_{3}}={{A}_{z}}}
dan vektor-vektor satuannya adalah,
n
^ ^ -->
1
=
x
^ ^ -->
;
n
^ ^ -->
2
=
y
^ ^ -->
;
n
^ ^ -->
3
=
z
^ ^ -->
{\displaystyle {{\mathbf {\hat {n}} }_{1}}=\mathbf {\hat {x}} ;\ {{\mathbf {\hat {n}} }_{2}}=\mathbf {\hat {y}} ;\ {{\mathbf {\hat {n}} }_{3}}=\mathbf {\hat {z}} }
Berdasarkan aturan penjumlahan Einstein penjumlahan (sumasi) tersebut dapat ditulis sederhana sebagai,
A
=
A
i
n
^ ^ -->
i
{\displaystyle \mathbf {A} ={{A}_{i}}{{\mathbf {\hat {n}} }_{i}}}
Sehingga kita dapat menghubungkan perkalian silang dengan epsilon Kronecker sebagai,
A
× × -->
B
=
(
A
i
n
^ ^ -->
i
)
× × -->
(
B
j
n
^ ^ -->
j
)
=
A
i
B
j
n
^ ^ -->
i
× × -->
n
^ ^ -->
j
=
ε ε -->
i
j
k
A
i
B
j
n
^ ^ -->
k
{\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =\left({{A}_{i}}{{\mathbf {\hat {n}} }_{i}}\right)\times \left({{B}_{j}}{{\mathbf {\hat {n}} }_{j}}\right)={{A}_{i}}{{B}_{j}}\ {{\mathbf {\hat {n}} }_{i}}\times {{\mathbf {\hat {n}} }_{j}}={{\varepsilon }_{ijk}}{{A}_{i}}{{B}_{j}}{{\mathbf {\hat {n}} }_{k}}}
di mana nilai dari
ε ε -->
i
j
k
{\displaystyle {{\varepsilon }_{ijk}}}
ε ε -->
i
j
k
=
{
+
1
,
jika permutasi genap
-1
,
jika permutasi ganjil
0
,
jika selainnya
{\displaystyle {{\varepsilon }_{ijk}}=\left\{{\begin{aligned}&+1,\ {\text{jika permutasi genap}}\\&{\text{-1}}{\text{,}}\ {\text{jika permutasi ganjil}}\\&{\text{0}}{\text{,}}\ {\text{jika selainnya}}\\\end{aligned}}\right.}
Definisi tersebut juga menunjukkan bahwa
ε ε -->
i
j
k
{\displaystyle {{\varepsilon }_{ijk}}}
ε ε -->
i
j
k
{\displaystyle {{\varepsilon }_{ijk}}}
ε ε -->
i
j
k
{\displaystyle {{\varepsilon }_{ijk}}}
ε ε -->
123
=
ε ε -->
231
=
ε ε -->
312
=
− − -->
ε ε -->
132
=
− − -->
ε ε -->
213
=
− − -->
ε ε -->
321
=
1
{\displaystyle {{\varepsilon }_{123}}={{\varepsilon }_{231}}={{\varepsilon }_{312}}=-{{\varepsilon }_{132}}=-{{\varepsilon }_{213}}=-{{\varepsilon }_{321}}=1}
