Az euklideszi geometriában az ív (jele: ⌒) egy differenciálható görbe zárt darabja. Egy szokványos példa a síkban (kétdimenziós sokaság) a körvonal egy darabja, a körív. Ha az ív egy főkör (vagy fő ellipszis) darabja a térben, főívnek nevezzük.

Minden két különböző pont két ívet határoz meg egy körvonalon. Ha a két pont nem pontosan átellenben van egymással, akkor az egyik ív kisebb, és a hozzá tartozó középponti szög kisebb, mint ${\displaystyle \pi }$ radián (180°), a másik ív pedig nagyobb, és a hozzá tartozó szög is nagyobb, mint ${\displaystyle \pi }$ radián.

Egy kör ívének hossza (pontosabban ívhossza) megadható az ív θ középponti szögének (radiánban mérve) és az r hosszúságú szögszárak (sugarak) által bezárt szög szorzataként:

${\displaystyle L=\theta r}$.

Ez abból az aránypárból következik, hogy

${\displaystyle {\frac {\hbox{ív}}{\hbox{kerület}}}={\frac {\hbox{szög}}{\hbox{teljes szög}}}}$.

A kerületet és a teljes szög behelyettesítve azt kapjuk, hogy

${\displaystyle {\frac {L}{2\pi r}}={\frac {\theta }{2\pi }}}$.

ezt átrendezve kapjuk a fenti ${\displaystyle L=\theta r}$ egyenlőséget.

Ha a szöget nem radiánban mérjük, hanem fokban, akkor a harmadik egyenlet a következő alakú lesz:

${\displaystyle {\frac {L}{2\pi r}}={\frac {\alpha }{360^{\circ }}}}$.

ezt átrendezve kapjuk, hogy

${\displaystyle L={\frac {\alpha \pi r}{180^{\circ }}}}$.

Ha a szög 60°-os és a kerület 24 egység, akkor

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {60}{360}}&={\frac {L}{24}}\\360L&=1440\\L&=4.\end{aligned}}}$

Ez abból következik, hogy a kör kerülete és a középponti szöge – ami mindig 360° – egyenes arányban állnak.

Egy felső félkör a következőképpen paraméterezhető:

${\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}.}$

Ekkor az ívhossz ${\displaystyle x=a}$-tól ${\displaystyle x=b}$-ig

${\displaystyle L=r{\Big [}\arcsin \left({\frac {x}{r}}\right){\Big ]}_{a}^{b}.}$

Egy ív és a kör középpontja által meghatározott terület (amit az ív és a két végpontjába húzott sugár határol):

${\displaystyle A={\frac {r^{2}\theta }{2}}.}$

Az A terület úgy aránylik a kör területéhez, mint a θ szög egy teljes körbeforduláshoz:

${\displaystyle {\frac {A}{\pi r^{2}}}={\frac {\theta }{2\pi }}.}$

${\displaystyle \pi }$-vel egyszerűsítve:

${\displaystyle {\frac {A}{r^{2}}}={\frac {\theta }{2}}.}$

${\displaystyle r^{2}}$-tel beszorozva mindkét oldalt kapjuk az alábbi végeredményt:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}r^{2}\theta .}$

A fenti átváltást használva egy fokban kifejezett középponti szöghöz tartozó körcikk területe

${\displaystyle A={\frac {\alpha }{360}}\pi r^{2}.}$

Egy ív és a két végpontját összekötő egyenes által határolt alakzat területe

${\displaystyle {\frac {1}{2}}r^{2}\left(\theta -\sin {\theta }\right).}$

Egy ívhez tartozó körszelet területének meghatározásához az ${\displaystyle A}$ területből ki kell vonnunk a kör középpontja és az ív két végpontja által meghatározott háromszög területét.

A húrtétel (más néven a pont körre vonatkozó hatványa vagy az érintő- és szelőszakaszok tétele) alkalmazásával egy kör r sugara kiszámítható a H körívtetőpont magasságból és a W ívhez tartozó húr hosszából:

Vegyünk egy húrt, aminek a két végpontja egybeesik az ív végpontjaival. A felezőmerőlegese szintén egy húr, a kör átmérője. Az első húr hossza W, amit a felezővonal két egyenlő részre oszt, amiknek a hossza ${\displaystyle {\frac {W}{2}}}$. Az átmérő teljes hossza 2r, amit az első húr 2 részre oszt. Az egyik rész, H, hossza egyenlő a körívtetőpont magasságával, a másik rész hossza pedig az átmérő fennmaradó része, ${\displaystyle 2r-H}$. A húrtételt alkalmazva a két húrra kapjuk, hogy

${\displaystyle H(2r-H)=\left({\frac {W}{2}}\right)^{2},}$

amiből

${\displaystyle 2r-H={\frac {W^{2}}{4H}},}$

így

${\displaystyle r={\frac {W^{2}}{8H}}+{\frac {H}{2}}.}$

A parabolához tartozó ívek tulajdonságairól (hossz, közbezárt terület):

Bővebben: Parabola (görbe)

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Arc (geometry) című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.