Értékréses logikán olyan logikai rendszert értünk, ami lemond arról az igényéről, hogy minden állításnak legyen jól meghatározott igazságértéke. Ezáltal kezelhetővé válik a hazug paradoxona is.

Ehhez látszólag egy új igazságértéket vezet be, ami valójában az igazságérték hiányát jelzi. Ezt nevezik értékrésnek. Több forrásból is eredhet. Az értékrés tovább öröklődik a logikai műveleteken, a kvantorokon és (az értékréses modális logikában) a modális operátorokon át.

• Individuum: mindazoknak a dolgoknak a halmaza, amikről csak szó lehet
• Funktor: olyan értelmes kifejezés, ami nem individuumnév és nem mondat. Nyitott kifejezés, amibe be lehet helyettesíteni.
  • Predikátum: olyan funktor, ami nevekből mondatot képez.
  • Mondatfunktor: mondatokból összetett mondatokat képez
  • Névfunktor: nevekből összetett neveket képez
• Deskripció: határozott individuumleírás
• Deskriptor: operátor, ami nyílt formulából nevet képez

Az individuumleírások (deskripciók) olyan kifejezések, melyek egy individuumot („alanyt”) egy kizárólag rá érvényes tulajdonsággal neveznek meg. A deskripciók két jelentősen különböző fajtája a határozott és a határozatlan individuumleírások.

Például: 'A Waverley szerzője' egy határozott individuumleírás, mert egyetlen individuumra utal, míg a 'A Principa Mathematica írója' határozatlan, mert Russell mellett szerzőtársára is utalhat.

A klasszikus logikában a határozatlan deskripciók – különösen, amelyek esetében nincs vagy nem dönthető el, hogy van-e olyan tárgy, amit megneveznek – gondot okoznak. Híres példa a „francia király” individuumleírás, amelynek van jelentése (bárki számára érthető), de nincs jelölete. Egy ilyen nevet mondatba foglalva: „A francia király kopasz”, számos nyelvfilozófus szerint olyan mondatokat kapunk, melyeket nem lehet kiértékelni – mások szerint az ilyen mondatot hamisnak kell kiértékelni. Ugyanúgy gondot jelentenek a többjelöletű deskripciók is, hiszen lehetséges olyan mondatokat találni, mely a benne szereplő individuumnév egyik jelöletére hamis, a másikra igaz. Pl. „A Principia Mathematica szerzőjének keresztneve Alfred” mondat igaz Whiteheadre, de hamis Russellre.

A kényelmetlen vita kényelmes, bár nem az egyedül lehetséges megoldásaként kínálkozik a deskripciók kiküszöbölése a formális nyelvekből. Ha viszont ezeket a leírásokat jól formált (nem kiküszöbölendő) terminusokként szeretnénk használni, akkor fel kell adnunk azt az elvet, hogy minden állításnak van igazságértéke. Ezáltal megjelenik az értékrés a logikában.

Egy értékréses logika felépítéséhez egy adott logikai rendszerhez hozzávesszük a következőket:

• Új logikai konstansok: deskriptor (I), és igaz, hogy funktor (+)
• Ha A formula, akkor +A is formula
• Ha A formula, és x változó, akkor Ix(A) terminus
• Speciális objektumok az értékrés jelzésére: a nullentitás, ami a deskripciók esetleges jelölethiányt jelzi, és egy új jel, ami az igazságérték hiányát jelzi.

• kielégíthetőség

Egy formula kielégíthető, ha van a változóknak olyan helyettesítése, amikre a formula értéke igaz.

• kielégíthetetlenség

Egy formula kielégíthetetlen, ha nincs a változóknak olyan helyettesítése, amikre a formula értéke igaz.

• következményreláció
• cáfolhatatlanság

Egy formula cáfolhatatlan, ha sohasem hamis.

• érvényesség

Egy formula érvényes, ha mindig igaz.

• Ha a deskripció csak egy individuumra igaz, akkor a jelölet az adott individuum; egyébként a jelölet a nullentitás.
• Ha egy atomi formula olyan terminust tartalmaz, aminek jelölete a nullentitás, akkor a formulának nincs igazságértéke (értékrés)
• Ha egy formula igazságérték nélküli, akkor tagadása is igazságérték nélküli. Ha egy konjunkció, diszjunkció, implikáció, ekvivalencia egyik tagjának nincs igazságértéke, akkor az egésznek sincs igazságértéke.
• Az igazságérték hiánya a kvantorokon át is továbböröklődik.
• Ha egy állítást ellátunk a + funktorral, akkor az így kapott állítás igazságértéke igaz, ha az eredeti állítás igaz volt, és hamis, ha nem (hamis, vagy igazságérték nélküli).

Az értékréses modális logikában az értékrés tovább öröklődik a modális funktorokon át is.

Az értékréses modális logikai világaiban az értékrés figyelembe vételével néhány fontos formula jelentése módosul. Így ${\displaystyle \lnot \Diamond \lnot A}$ jelentése: A egy világban sem hamis. Hasonlóan, ${\displaystyle \lnot \Box \lnot A}$ jelentése: A néhány világban nem hamis.

A nulladrendű értékréses modális logikát Q-rendszernek is nevezik.

Bármely modális kalkulus szerint felépíthető elsőrendű értékréses modális rendszer.

Az igazságérték hiányának több oka lehet. Az egyik a jelölet nélküli nevek esete; a másik pedig az, hogy bizonyos világokban nem minden predikátum alkalmazható minden individuumra. Például az emberek halmazán nem alkalmazhatók matematikai predikátumok, vagy a számok halmazán színpredikátumok.

Az értékréses modális világokban nincs világ értékrés nélkül. Például az „Ez a mondat hamis.” állításnak egy világban sem lehet igazságértéke.

• A változók halmaza ugyanaz, mint egyébként.
• A deskriptív konstansok halmaza névkonstansokat és predikátumokat tartalmaz.
• A változók és a névkonstansok terminusok.
• Ha A formula, és x változó, akkor Ix(A) terminus.
• Ha egy predikátumba terminusokat helyettesítünk, akkor formulát kapunk.
• Ha t₁ és t₂ terminus, akkor t₁ = t₂ formula.
• Ha ${\displaystyle A}$ formula, akkor ${\displaystyle \lnot A}$, ${\displaystyle +A}$, ${\displaystyle \Diamond A}$ formula
• Ha ${\displaystyle A}$ és ${\displaystyle B}$ formula, akkor ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ is formula.
• Ha A formula, és x változó, akkor ${\displaystyle \exists xA}$ formula.
• Modalizált formulák:
  • Ha A formula, akkor ${\displaystyle +A}$, ${\displaystyle \Diamond A}$ modalizált formula
  • Ha A modalizált formula, akkor ${\displaystyle \lnot A}$, ${\displaystyle \exists xA}$, és ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ is modalizált formula.

Az itt nem szereplő egyéb funktorokat definícióval vezetik be.

A változókat és a névkonstansokat merev terminusoknak nevezik. Ezek értéke minden világban ugyanaz, vagy eltűnik. A deskripciók nem merev terminusok; szintén nem merevek azok a terminusok, amik deskripciót tartalmaznak.

Helyettesíthetőség szempontjából a modalizált formulákra a következőket kell kikötni: ha a formulában x-nek van szabad modalizált előfordulása, akkor x helyére csak merev terminus helyettesíthető.

Egy interpretáció kielégíti a következőket:

• W a lehetséges világok nem üres halmaza.
• R láthatósági reláció.
• U az individuumok halmaza.
• ${\displaystyle \Theta }$ nullentitás, ami nem eleme az individuumok halmazának.
• d a W halmazon értelmezett függvény, ami megmondja, hogy egy világban milyen individuumok fordulnak elő.
• ${\displaystyle \varphi }$ a deskriptív konstansok halmazán definiált interpretálófüggvény. Névkonstansokra alkalmazva individuumot ad vissza. Egy adott világban predikátumnak az adott világban létező individuumot, vagy nullentitást feleltet meg. Ha P mondatparaméter, akkor igazságértéket ad vissza, ami csak a világtól függ.

Az R láthatósági relációra különböző kikötéseket lehet tenni, ezzel különböző értékréses modális rendszerekhez lehet jutni.

Az értékréses modális rendszerekben kétféle univerzális kvantor használható.

• Gyenge univerzális kvantor

Definíció: ${\displaystyle \lnot \exists x\lnot A}$

Ezt a kvantort azért nevezik gyengének, mert ha d(w) üres, akkor értéke igaz a w világban.

• Erős univerzális kvantor

Degenerálja az állítást, ha d(w) üres. Ez jobban megfelel az értékréses szemléletnek.

Definiálásához egy új fogalom kell, ami szintén csak értékréses logikában létezhet.

Jelölje ${\displaystyle \uparrow }$ a következő formulát:

${\displaystyle \exists y(}$I${\displaystyle (x=y)=y)}$

Elfajulása az individuumtartomány ürességét jelzi.

Ezzel az erős univerzális kvantor így fejezhető ki:

${\displaystyle \forall xA=\uparrow \Rightarrow \lnot \exists x\lnot A}$

• A modus ponens szabálya nem örökíti a cáfolhatatlanságot, de az igazságot és vele az érvényességet igen.
• Azok a sémák, amik a nulladrendű logikában érvényesek, nem mind érvényesek az értékréses rendszerekben. Viszont cáfolhatatlanságuk megmarad.
• Ha A cáfolhatatlan, akkor erős vagy gyenge univerzális kvantorral ellátva is cáfolhatatlan.
• Modális törvények
  • Ha A cáfolhatatlan, akkor ${\displaystyle \lnot \Diamond \lnot A}$ érvényes.
  • Ha A érvényes, akkor ${\displaystyle \Box A}$ is érvényes.
  • ${\displaystyle \Box (A\Rightarrow B)\Rightarrow \Box A\Rightarrow \Box B}$ érvényes, ha ${\displaystyle \Box }$ erős szükségszerűséget jelent; ha ${\displaystyle \Box }$ gyenge szükségszerűséget jelöl, akkor cáfolható.
  • Ha ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ érvényes, akkor ${\displaystyle \Diamond A\Rightarrow \Diamond B}$ és ${\displaystyle \Box A\Rightarrow \Box B}$ is érvényes.

Az R láthatósági reláció különböző tulajdonságai különböző cáfolhatatlan sémákhoz vezetnek:

• R reflexív

A ${\displaystyle \Box A\Rightarrow A}$, ${\displaystyle \lnot \Diamond \lnot A\Rightarrow A}$, és az ${\displaystyle A\Rightarrow \Diamond A}$ sémák cáfolhatatlanok

• R minden világhoz hozzárendel legalább egy másik világot

${\displaystyle \Box A\Rightarrow \Diamond A}$ érvényes, de ${\displaystyle \lnot \Diamond \lnot A\Rightarrow \Diamond A}$ cáfolható.

• R tranzitív

${\displaystyle \Box A\Rightarrow \Box \Box A}$ és ${\displaystyle \Diamond \Diamond A\Rightarrow \Diamond A}$ érvényes.

• R szimmetrikus

${\displaystyle A\Rightarrow \Box \Diamond A}$ és ${\displaystyle \Diamond \Box A\Rightarrow A}$ cáfolhatatlan.

• R ekvivalenciareláció

${\displaystyle \Diamond \Box A\Rightarrow \Box A}$ és ${\displaystyle \Diamond A\Rightarrow \Box \Diamond A}$ érvényes.

• Ruzsa Imre–Máté András: Bevezetés a modern logikába