A térszög (jele: Ω) olyan szög a háromdimenziós térben, amelyet egy 0 csúcspontú, tetszőleges zárt vezérgörbéjű kúp határoz meg. A térszöget annak a felületdarabnak a nagyságával mérjük, amelyet a kúpfelület az 0 középpontú gömbből kivág. (A kivágott felület alakja közömbös, csak a nagysága számít.)

A térszög azt méri, hogy az adott pontból nézve milyen nagynak tűnik egy objektum. (Például egy közel lévő kis objektum ugyanakkora térszöget zárhat be, mint egy távoli nagy objektum.) A térszög úgy viszonyul a gömb felszínéhez, mint a síkszög a kör kerületéhez, vagyis értéke egyenesen arányos az objektumnak vetületének az 0 középpontú gömb felszínén mért területével (S) , és fordítottan a gömbsugár (r) négyzetével: ${\displaystyle \Omega ={k}\ {S/}{r^{2}}}$ (ahol k arányossági konstans).

Amennyiben a k konstanst 1-nek választjuk, akkor a térszög mértékegysége az SI-beli szteradián (jele: sr). Ekkor a térszög legnagyobb értéke a teljes gömbfelülethez tartozik: ${\displaystyle \Omega ={S/}{r^{2}}={(4\pi r^{2})/}{r^{2}}=4\pi \ \mathrm {sr} \approx 12{,}57\ \mathrm {sr} }$.

A térszög mérhető még négyzetfokban (${\displaystyle {k=(180/}\pi {)}^{2}}$) vagy gömbrészben (${\displaystyle {k=1/4}\pi }$).

A gömbrész méretének meghatározásához az adott objektum területét osztani kell a gömb teljes felszínével. A gömbrész (legyen most jele: gr) értéke ezután átszámítható szteradiánná vagy négyzetfokká (legyen most jele: nf) a következő képletek segítségével:

1. ${\displaystyle \Omega _{sr}={4}\pi \ \Omega _{gr}}$ - a szteradián érték kiszámításához szorozni kell a gömbrész értéket ${\displaystyle {4}\pi }$-vel.
2. ${\displaystyle \Omega _{nf}={4}\pi \ {(180/}\pi {)}^{2}\ \Omega _{gr}={129600}\ \pi \ \Omega _{gr}}$ - a négyzetfok érték kiszámításához szorozni kell a gömbrész értéket ${\displaystyle {4}\pi {(180/}\pi {)}^{2}}$, vagyis ${\displaystyle {129600}\pi }$-vel.

Legyen A tetszőleges felület, és S A vetülete az r sugarú gömb felszínén. Ekkor az A felület Ω térszöge

${\displaystyle \Omega :={\frac {S}{r^{2}}}=\int \!\!\!\!\int _{A}{\frac {{\hat {\vec {n}}}\cdot d{\vec {A}}}{\rho ^{2}}}}$

ahol ${\displaystyle {\hat {\vec {n}}}}$ a gömb középpontjából kifelé mutató egységvektor, ${\displaystyle d{\vec {A}}}$ infinitezimálisan kicsiny felületdarab, és ρ ennek a gömb középpontjától mért távolsága.

• A fényerősség és a fénysűrűség (luminancia)
• A gömbháromszögek gömbi feleslege
• Fémkomplexekben a ligandumok méretének meghatározása
• Elektromos és mágneses térerősség
• Gauss-törvény

A térszög általánosítható minden d dimenzióra a d-gömbre való kiterjesztéssel. A gömbi szimmetriával kapcsolatban gyakran szükség is van erre. A teljes d dimenziós gömb térszöge

${\displaystyle \Omega _{d}={\frac {2\pi ^{d/2}}{\Gamma \left({\frac {d}{2}}\right)}}}$

ahol ${\displaystyle \Gamma }$ a teljes gammafüggvény.

Ha d egész, akkor a gammafüggvény értéke kiszámítható. Ezzel

${\displaystyle \Omega _{d}={\begin{cases}{\frac {d\pi ^{d/2}}{\left({\frac {d}{2}}\right)!}}&d={\dot {2}}\\{\frac {2^{d}\left({\frac {d-1}{2}}\right)!}{(d-1)!}}\pi ^{(d-1)/2}&d\neq {\dot {2}}\end{cases}}}$

Ez a képlet kiadja a kör kerületét a síkban és a 4π szteradiánt a háromdimenziós térben. Kevésbé nyilvánvaló, hogy a ${\displaystyle [-1,1]}$ intervallumra a 2-t adja ki, ami megegyezik ennek a szakasznak a hosszával.

Legyenek a tetraéder csúcsai A, B, C és O, ahol O az origó. Jelölje ${\displaystyle {\vec {a}}\ ,\,{\vec {b}}\ ,\,{\vec {c}}}$ rendre az A-ba, B-be, C-be mutató vektorokat. A ${\displaystyle \vartheta _{a}\,}$ szög legyen a BOC szög, és defiiáljuk ehhez hasonlóan a ${\displaystyle \vartheta _{b},\,\vartheta _{c}}$ szögeket. Jelölje ${\displaystyle \varphi _{ab}\,}$ az OAC és az OBC síkok által bezárt szöget, és definiáljuk a ${\displaystyle \varphi _{bc},\,\varphi _{ac}}$ szögeket analóg módon. A tetraéder O-nál levő térszöge

${\displaystyle \Omega =\varphi _{ab}+\varphi _{bc}+\varphi _{ac}-\pi .\,}$

Ez a gömbi felesleggel bizonyítható, és következményként egy olyan eredményt ad, ami megfelel a síkháromszög szögösszegéről szóló tételnek.

A tetraéder belső térszögeinek összege

${\displaystyle \sum _{i=1}^{4}\Omega _{i}=2\sum _{i=1}^{6}\phi _{i}-4\pi }$

ahol ${\displaystyle \phi _{i}\,}$ végigfut a hat lapszögön.

Oosterom and Strackee használható algoritmust adott a tetraéder O-nál levő térszögének kiszámítására.:^[1] A fenti jelölésekkel

${\displaystyle \mathrm {tg} \left({\frac {1}{2}}\Omega \right)={\frac {[{\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}]}{abc+({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})c+({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})b+({\vec {b}}\cdot {\vec {c}})a}},}$

ahol

${\displaystyle [{\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}]}$

annak a mátrixnak a determinánsa, aminek sorai az ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}$ vektorok. Ez megegyezik a három vektor vegyes szorzatával. A felülhúzás nélküli kisbetűk a vektorok hosszát, az egymás mellé írt vektorok a két vektor skaláris szorzatát jelölik.

Egy másik hasznos képlet a térszöget a ${\displaystyle \vartheta _{a},\,\vartheta _{b},\,\vartheta _{c}}$ szögek függvényében adja meg. Ez L' Huilier tételéből adódik:

${\displaystyle \mathrm {tg} \left({\tfrac {1}{4}}\Omega \right)={\sqrt {\mathrm {tg} \left({\frac {\vartheta _{s}}{2}}\right)\mathrm {tg} \left({\frac {\vartheta _{s}-\vartheta _{a}}{2}}\right)\mathrm {tg} \left({\frac {\vartheta _{s}-\vartheta _{b}}{2}}\right)\mathrm {tg} \left({\frac {\vartheta _{s}-\vartheta _{c}}{2}}\right)}}}$

ahol

${\displaystyle \vartheta _{s}={\frac {\vartheta _{a}+\vartheta _{b}+\vartheta _{c}}{2}}}$

A ${\displaystyle 2\theta \,\!}$ csúcsszögű kúp térszöge az egységgömbi gömbsüveg felszínével egyenlő:

${\displaystyle \Omega =2\pi \left(1-\cos {\theta }\right).\,\!}$

Ez az eredmény a következő kettős integrállal számítható ki:

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '\,d\phi =2\pi \int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '=2\pi \left[-\cos \theta '\right]_{0}^{\theta }\ =2\pi \left(1-\cos \theta \right).}$

Arkhimédész bebizonyította az integrálszámítás használata nélkül, hogy a gömbsüveg felszíne megegyezik annak a körnek a területével, aminek ugyanakkora a sugara, mint a gömbsüveg peremének és annak a pontnak a távolsága, ahol a gömbsüveg szimmetriatengelye metszi a gömbsüveget. A diagramon ez a sugár:

${\displaystyle 2r\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right).\,\ }$

Így az egységgömbi gömbsüveg térszöge:

${\displaystyle \Omega =4\pi \sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)=2\pi \left(1-\cos {\theta }\right).\,\ }$

Ha θ = π/2, akkor a gömbsüvegből félgömb lesz, aminek térszöge 2π.

Egy kúp komplementerének térszöge:

${\displaystyle 4\pi -\Omega =2\pi \left(1+\cos {\theta }\right).\,\!}$

A Föld felszínén a ${\displaystyle \theta \,\!}$ szélességen álló csillagász az éggömbnek ekkora részét figyelheti meg (az éggömb forgásának beszámításával):

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1+\cos {\theta }\right).\,\ }$

Az Egyenlítőről minden látszik, a sarkokról csak a fél éggömb.

A téglalap alapú egyenes gúla térszöge

${\displaystyle \Omega =4\arcsin \left(\sin {a \over 2}\sin {b \over 2}\right).\,\!}$

ahol a és b a szemben fekvő oldalak lapszöge.

Ha az alap oldalhosszai α és β, és a piramis magassága d, akkor a térszög:

${\displaystyle \Omega =4\arcsin {\frac {\alpha \beta }{\sqrt {(4d^{2}+\alpha ^{2})(4d^{2}+\beta ^{2})}}}.\,\!}$

Egy szélességi és hosszúsági körök által határolt gömbi téglalap középponti szöge

${\displaystyle \left(\sin \varphi _{N}-\sin \varphi _{S}\right)\left(\vartheta _{E}-\vartheta _{W}\,\!\right)}$, ahol ${\displaystyle \varphi _{N}\,\!}$ és ${\displaystyle \varphi _{S}\,\!}$ a határoló északi és déli szélességi kör, és ${\displaystyle \vartheta _{E}\,\!}$ és ${\displaystyle \vartheta _{W}\,\!}$ a határoló keleti és a nyugati hosszúsági kör. A hosszúsági körök radiánban mért szöge kelet felé nő.[2]

Matematikailag ez egy ${\displaystyle \varphi _{N}-\varphi _{S}\,\!}$ hosszú körívet jelent, ami ${\displaystyle \vartheta _{E}-\vartheta _{W}\,\!}$ radiánt söpör végig. Ha a hosszúság eléri a 2π radiánt, vagy a szélesség a π radiánt, akkor a térszög az egész kört átfogja.

A szélességi-hosszúsági téglalap térszöge nem tévesztendő össze a piramid csúcsszögével. A piramid oldalai főkörívekben metszik a gömböt, és a szélességi körök nem főkörök.

A Nap és a Hold is az éggömb 0,001%-át foglalja el, vagyis úgy 6·10⁻⁵ szteradiánt.^[2]

1. ↑ Van Oosterom, A, Strackee, J (1983). „The Solid Angle of a Plane Triangle”. IEEE Trans. Biom. Eng. BME-30, 125-126. o. DOI:10.1109/TBME.1983.325207. 
2. ↑ [1]

• Arthur P. Norton, A Star Atlas, Gall and Inglis, Edinburgh, 1969
• F. M. Jackson, Polytopes in Euclidean n-Space. Inst. Math. Appl. Bull. (UK) 29, 172-174, Nov./Dec. 1993.
• Eric W. Weisstein, Spherical Excess at MathWorld.
• Eric W. Weisstein, Solid Angle at MathWorld.