Tétel: A háromszög köré írt kör tetszőleges pontjának az oldalegyenesekre eső merőleges vetületei egy egyenesbe esnek, ez az egyenes a Simson-egyenes.
Bizonyítás:
A C P B {\displaystyle ACPB} húrnégyszög ⟶ ⟶ --> β β --> + ϵ ϵ --> + α α --> = 180 ∘ ∘ --> {\displaystyle \longrightarrow \beta +\epsilon +\alpha =180^{\circ }} .
A S P M {\displaystyle ASPM} húrnégyszög ( S {\displaystyle S} -nél és M {\displaystyle M} -nél lévő szögei derékszögek) ⟶ ⟶ --> β β --> + ϵ ϵ --> + θ θ --> = 180 ∘ ∘ --> ⟶ ⟶ --> θ θ --> = α α --> {\displaystyle \longrightarrow \beta +\epsilon +\theta =180^{\circ }\longrightarrow \theta =\alpha } .
P I M C {\displaystyle PIMC} húrnégyszög, mert M P C ∡ ∡ --> = α α --> = M I C ∡ ∡ --> {\displaystyle MPC\measuredangle =\alpha =MIC\measuredangle } ( P M C △ △ --> {\displaystyle PMC\bigtriangleup } derékszögű) ⟶ ⟶ --> β β --> + 90 ∘ ∘ --> + α α --> = 180 ∘ ∘ --> {\displaystyle \longrightarrow \beta +90^{\circ }+\alpha =180^{\circ }} .
B S P I {\displaystyle BSPI} húrnégyszög ( S {\displaystyle S} , I {\displaystyle I} -nél fekvő szögek derékszögűek) ⟶ ⟶ --> B P S ∡ ∡ --> = θ θ --> = B I S ∡ ∡ --> {\displaystyle \longrightarrow BPS\measuredangle =\theta =BIS\measuredangle } ; B S P △ △ --> {\displaystyle BSP\bigtriangleup } derékszögű: S P K △ △ -->∼ ∼ --> B I K △ △ --> {\displaystyle SPK\bigtriangleup \sim BIK\bigtriangleup } (két oldal és közbezárt szög – váltószögek) → → --> {\displaystyle \rightarrow } a többi szög is azonos.
⟶ ⟶ --> θ θ --> = α α --> {\displaystyle \longrightarrow \theta =\alpha } (váltószögek), így egy egyenesbe esnek az S {\displaystyle S} , I {\displaystyle I} , M {\displaystyle M} pontok.
