A kvantummechanikában egy fizikai rendszer ismerete ekvivalens annak teljes állapotterének ismeretével. Ez általában egy végtelen dimenziós lineáris tér, nevezetesen a Hilbert-tér, aminek minden eleme a rendszer állapotának megfeleltethető állapotvektor. Az állapotok időbeli fejlődése egy a Hilbert-téren ható, "idő paraméterű" operátorral jellemezhető. Amennyiben a rendszer időben eltolható, ez az operátor egy folytonos csoport eleme. Neve: Green-operátor. A csoport infinitezimális generátora, azaz az időfejlődés generátora a Hamilton operátor. A Schrödinger-egyenlet egy állapotegyenlet. Létezik időfüggetlen és időfüggő formája is. Az időfüggetlen formája egy energiasajátérték-egyenlet.

A kvantummechanikában a fizikai mennyiségek matematikai leírására operátorokat használnak. Kvantumrendszerek mérésekor a mérési eredmény az ahhoz a megfigyelhető mennyiséghez hozzárendelt operátor valamelyik sajátértékével egyezik meg. A kvantummechanikában a fizikai, megfigyelhető mennyiségekhez lineáris, hermitikus operátorokat rendelnek.

Azon klasszikus mechanikai rendszerek esetében, melyek rendelkeznek Hamilton-függvénnyel, a Hamilton-függvény alakja Descartes-koordinátákban

${\displaystyle \ H=T+V,}$

ahol T a rendszer kinetikus energiája és V a rendszer potenciális energiája. A Hamilton-függvény egy klasszikus, tiszta állapot, azaz a rendszer fázisterének pontjai a teljes energiáját adja meg.

A kvantummechanikában a kvantumrendszer energiáját a Schrödinger-féle energiasajátérték-egyenlet határozza meg. A sajátértékegyenletben szereplő operátor (Hamilton-operátor) a rendszer klasszikus fizikai analogonja (ha létezik ilyen) Hamilton-függvényének operátorosításával történik (Ez az úgynevezett kanonikus kvantálás):

${\displaystyle H=T+V\longrightarrow {\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {V}},}$

a sajátértékegyenlet pedig:

${\displaystyle {\hat {H}}|\psi \rangle =E|\psi \rangle ,\quad |\psi \rangle \in {\mathcal {H}},\quad E\in \mathbb {R} ,}$

ahol ${\displaystyle |\psi \rangle \in {\mathcal {H}}}$ a kvantumállapot, mely a ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, a rendszer modelljeként szolgáló Hilbert-tér eleme. Az energiasajátértékek megadják a rendszer mérése során előforduló lehetséges energiaértékeket.

A mondottakat általában az egyetlen tömegpont kvantummechanikai leírásával szemléltetik. Ha a tömegpont kényszer nélkül mozog ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$-ban és létezik klasszikus mechanikai Hamilton-függvénye, akkor annak alakja:

${\displaystyle H(\mathbf {x} ,t)={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}+V(\mathbf {x} ,t),}$

ahol ${\displaystyle m\in \mathbb {R} }$ a tömegpont tömege, p a tömegpont impulzusa, V pedig a mozgást meghatározó potenciál. Koordinátareprezentációban a kvantummechanikára való áttérés úgy történik, hogy az impulzus komponenseihez és a potenciálhoz ${\displaystyle L^{2}(\mathbf {R} ^{3})}$-on ható operátorokat rendelnek:

${\displaystyle p_{x}\longrightarrow {\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\quad p_{y}\longrightarrow {\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}\quad p_{z}\longrightarrow {\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}},}$

valamint

${\displaystyle V\longrightarrow {\hat {V}}=V{\hat {I}},}$

ahol ${\displaystyle {\hat {I}}}$ az identitásoperátor. Mind a potenciál, mind az impulzusoperátorok hermitikusak, így megfigyelhető mennyiségeket határoznak meg. Behelyettesítés után a Schrödinger-egyenlet a következő alakot ölti:

${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +V(x,y,z){\hat {I}}\right)|\psi \rangle =E|\psi \rangle ,}$

ahol ${\displaystyle \Delta }$ a Laplace-operátor:

${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.}$

Az időfüggő Schrödinger-egyenlet egy nemrelativisztikus kvantummechanikai rendszer állapotának az időbeli változását írja le, más szóval ez a nemrelativisztikus kvantummechanikai rendszer mozgásegyenlete. Alakja a következő:

${\displaystyle {\hat {H}}\Psi =i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}}$

vagy bővebben,^[1]

${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +V(x,y,z,t)\right)\Psi (x,y,z,t)=i\hbar {\partial \over \partial t}\Psi (x,y,z,t)}$.

A Klein–Gordon-egyenlet az időfüggő Schrödinger-egyenlet relativisztikus verziója.

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\nabla ^{2}\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0.}$

• Schrödinger macskája

• Web-Schrödinger Egy program a 2D-s időfüggő és stacionárius Schrödinger-egyenlet megoldásának kiszámítására (KFKI MFA)

1. ↑ Cite web-hiba: a title paramétert mindenképpen meg kell adni!