A matematikában a Riemann-féle kszi függvény a Riemann-féle zéta-függvény egy változata, és egyszerű függvényegyenlettel definiálható. Bernhard Riemann után nevezték el.

Riemann a ξ betűt használta, ezt Landau változtatta nagybetűsre (Ξ). Landua ξ-függvényének definíciója:^[1]

${\displaystyle \xi (s)={\tfrac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}s\right)\zeta (s)}$

ahol ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$. Ahol ζ(s) a Riemann-féle zéta-függvényt jelöli, és Γ(s) a gammafüggvény. A függvényegyenlet, avagy tükrözési képlet:

${\displaystyle \xi (1-s)=\xi (s).}$

A nagybetűs Ξ függvényt Landau úgy definiálta, mint:^[2]

${\displaystyle \Xi (z)=\xi ({\frac {1}{2}}+zi)}$

és ez a fenti függvényegyenletnek is eleget tesz:

${\displaystyle \Xi (-z)=\Xi (z).}$

Landau szerint (loc. cit., p. 894) ez a Riemann által ξ-nek nevezett függvény. Mindkét függvény valós számokhoz valós értékeket rendelnek. A Riemann-sejtés ekvivalens azzal, hogy Ξ minden nullhelye valós. A zavaros jelölés oka Riemann egy nyilvánvaló hibája, aminek azonban nincs semmi következménye a cikken belül.^[3]

Páros egészekre az általános képlet:

${\displaystyle \xi (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {n!}{(2n)!}}B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n}(2n-1)}$

ahol B_n az n-edik Bernoulli-szám. Például:

${\displaystyle \xi (2)={\frac {\zeta (2)}{\pi }}={\frac {\pi }{6}}}$

${\displaystyle \xi (4)={\frac {6}{\pi ^{2}}}\,\zeta (4)={\frac {\pi ^{2}}{15}}.}$

További speciális értékek:

${\displaystyle \xi (0)=\xi (1)=-\zeta (0)={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \xi (1/2)=-\zeta (1/2)\cdot {\frac {\Gamma (1/4)}{8\pi ^{\frac {1}{4}}}}=0,4971207781...}$ (Minimum im reellwertigen Definitionsbereich, (A114720 sorozat az OEIS-ben))

${\displaystyle \xi (3)={\frac {3}{2\pi }}\,\zeta (3)}$

${\displaystyle \xi (5)={\frac {15}{2\pi ^{2}}}\,\zeta (5).}$

A ${\displaystyle \xi }$-függvény sorfejtése

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ln \xi \left({\frac {-z}{1-z}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n},}$

ahol

${\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right],}$

ahol a ρ indexek a zéta-függvény nem triviális nullhelyei, ${\displaystyle |\Im (\rho )|}$ szerint növekvő sorrendben.

Ennek a sorfejtésnek fontos szerep jut a Li-kritériumban, ami azt állítja, hogy a Riemann-hipotézis ekvivalens azzal, hogy λ_n > 0 minden pozitív n esetén.

Egy egyszerű végtelen szorzat alakban adott kifejtés

${\displaystyle \Xi (s)=\Xi (0)\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right),\!}$

ahol ρ a ξ gyökeit futja be.

A konvergencia biztosítása érdekében a nullhelyeket párokba kell állítani, ahol a párok tagjai ρ és 1−ρ.

A Riemann–Siegel-féle Z-függvény kifejezhető a Riemann-féle kszi függvénnyel:^[4]

${\displaystyle Z(t)=-{\frac {2\pi ^{1/4}}{(t^{2}+{\frac {1}{4}})\,|\Gamma ({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{2}}it)|}}\ \Xi (t).}$

Valós s értékekre^[5]

${\displaystyle \textstyle \ln \xi (s)=\Theta ({\frac {1}{2}}s\ln s)\qquad (s\in \mathbb {R} ,s\to \infty )}$

továbbá

${\displaystyle \xi (s)=\Theta ({\sqrt {s}}^{\,s})}$

ahol ${\displaystyle \Theta }$ a Landau-szimbólum. Ennek megfelelően t valós értékeire^[6]

${\displaystyle \textstyle \Xi (t)=\xi ({\frac {1}{2}}+it)=O(t^{1/4}e^{-\pi t/4})\qquad (t\in \mathbb {R} ,t\to \infty )}$

A ${\displaystyle \xi }$ kszi-függvény kapcsolódik a Li-együtthatókhoz:

${\displaystyle \lambda _{n}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right],}$

mivel teljesülnek a következők:^[7]

${\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\ \left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} s^{n}}}\ [s^{n-1}\ln \xi (s)]\right|_{s=1}\qquad (n\geqq 1)}$

és

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\ln \xi \left({\frac {z}{z-1}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n}.}$

A Li-kritérium a ${\displaystyle \lambda _{n}>0}$ tulajdonság minden pozitív ${\displaystyle n}$ esetén.. Ez ekvivalens a Riemann-sejtéssel.

• Weisstein, Eric W.: Xi-Function (angol nyelven). Wolfram MathWorld
• (1992) „Power series expansions of Riemann's xi function”. Mathematics of Computation 58 (198), 765–773. o. DOI:10.1090/S0025-5718-1992-1122072-5. 
• H. M. Edwards: Riemann’s Zeta Function. Mineola, NY: Dover Publications. 2001. ISBN 0-486-41740-9  
• J. C. Lagarias (2004). „Li coefficients for automorphic L-functions”. Mathematics. 
• B. Riemann (1859). „Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe”. Monatsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. 
• Edward Charles Titchmarsh: The Theory of the Riemann Zeta Function, Second revised (Heath-Brown) edition. (hely nélkül): Oxford University Press. 1986. ISBN 0-19-853369-1  

Ez a szócikk részben vagy egészben a Riemann Xi function című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Ez a szócikk részben vagy egészben a Riemannsche Xi-Funktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.