A matematikában a Riemann–Siegel-féle théta-függvény definíciója:

${\displaystyle \theta (t)=\arg \left(\Gamma \left({\frac {2it+1}{4}}\right)\right)-{\frac {\log \pi }{2}}t}$

ahol ${\displaystyle \Gamma }$ a teljes gamma-függvény, és t valós. A konstansok választása miatt a függvény folytonos, és ${\displaystyle \theta (0)=0}$, a log gamma főágának definíciójához hasonlóan.

Aszimptotikus kifejtése

${\displaystyle \theta (t)\sim {\frac {t}{2}}\log {\frac {t}{2\pi }}-{\frac {t}{2}}-{\frac {\pi }{8}}+{\frac {1}{48t}}+{\frac {7}{5760t^{3}}}+\cdots }$

ami nem konvergens, de az első néhány tag jó közelítést ad ${\displaystyle t\gg 1}$-re. Taylor-sora a 0 körül ${\displaystyle |t|<1/2}$ esetben konvergens, és

${\displaystyle \theta (t)=-{\frac {t}{2}}\log \pi +\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\psi ^{(2k)}\left({\frac {1}{4}}\right)}{(2k+1)!}}\left({\frac {t}{2}}\right)^{2k+1}}$

ahol ${\displaystyle \psi ^{(2k)}}$ a ${\displaystyle 2k}$ rendű poligamma-függvény.

A Riemann–Siegel-féle théta-függvény a Riemann-féle zéta-függvény tanulmányozásában érdekes, mert úgy transzformálja, hogy annak kritikus egyenese a valós tengelyre kerüljön. Lásd: Riemann–Siegel-féle Z-függvény.

A Riemann–Siegel-féle théta-függvény páratlan valós analitikus függvény valós t esetén. A nullát háromszor veszi fel, ezek a helyek 0 és ${\displaystyle \pm 17,8455995405\ldots }$ A |t| > 6,29 helyeken növekvő, mivel a ${\displaystyle \pm 6,289835988\ldots }$ helyeken pontosan egy helyi minimuma illetve maximuma van, aminek abszolútértéke ${\displaystyle 3,530972829\ldots }$. A t = 0 helyen inflexiós pontja van, és itt ${\displaystyle \theta ^{\prime }(0)=-{\frac {\ln \pi +\gamma +\pi /2+3\ln 2}{2}}=-2,6860917\ldots }$ a függvény deriváltjának minimuma.

A log Gamma függvény végtelen kifejtése

${\displaystyle \log \Gamma \left(z\right)=-\gamma z-\log z+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n}}-\log \left(1+{\frac {z}{n}}\right)\right),}$

ahol γ az Euler–Mascheroni konstans. A z változóba helyettesítve ${\displaystyle (2it+1)/4}$ -t és tagonként képzetes részt véve 'θ(t)

${\displaystyle \theta (t)=-{\frac {\gamma +\log \pi }{2}}t-\arctan 2t+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {t}{2n}}-\arctan \left({\frac {2t}{4n+1}}\right)\right).}$

A -1 és 1 képzetes részű sávon az árkusz tangens függvény holomorf, és könnyen belátható, hogy a sor egyenletesen konvergens a -1/2 és 1/2 közötti képzetes részű sáv által tartalmazott kompakt részhalmazokon. Ebből következik, hogy a Z-függvény is holomorf ezen a kritikus sávon.

Az

${\displaystyle \arg z={\frac {\log z-\log {\bar {z}}}{2i}}\quad {\text{and}}\quad {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\bar {z}})}$

azonosságokkal a fenti képlet zárt alakra hozható:

${\displaystyle \theta (t)={\frac {\log \Gamma \left({\frac {2it+1}{4}}\right)-\log \Gamma \left({\frac {-2it+1}{4}}\right)}{2i}}-{\frac {\log \pi }{2}}t=-{\frac {i}{2}}\left(\ln \Gamma \left({\frac {1}{4}}+{\frac {it}{2}}\right)-\ln \Gamma \left({\frac {1}{4}}-{\frac {it}{2}}\right)\right)-{\frac {\ln(\pi )t}{2}}}$

Ezzel a függvény kiterjeszthető. Mivel a log Gamma nem értelmezhető holomorf a teljes komplex síkon, ez a függvény sem fog mindenhová kiterjedni. A log Gamma főágát alapul véve θ(t) örökli a sík felvágását a képzetes tengely mentén a i/2-nél nagyobb és a -i/2-nél kisebb képzetes részű tisztán képzetes komplex számokra.

A Riemann–Siegel-féle théta-függvény a komplex síkon

${\displaystyle -1<\Re (t)<1}$	${\displaystyle -5<\Re (t)<5}$	${\displaystyle -40<\Re (t)<40}$

A Riemann-féle zéta-függvény a kritikus egyenes mentén

${\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)=e^{-i\theta (t)}Z(t),}$

${\displaystyle Z(t)=e^{i\theta (t)}\zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right).}$

Ha ${\displaystyle t}$ valós, akkor a ${\displaystyle Z\left(t\right)}$ függvény értékei is valósak. Az ilyen pozitív értékeket Gram-pontoknak nevezik Jørgen Pedersen Gram nyomán, és úgy írhatók le, hogy a ${\displaystyle {\frac {\theta (t)}{\pi }}}$ hányados egész. Tehát a Gram-pontok az

${\displaystyle \theta \left(g_{n}\right)=n\pi .}$ ${\displaystyle g_{n}}$ megoldásai.

A legkisebb Gram-pontok:

${\displaystyle n}$	${\displaystyle g_{n}}$	${\displaystyle \theta (g_{n})}$
-3	0	0
-2	3,4362182261...	-π
-1	9,6669080561...	-π
0	17,8455995405...	0
1	23,1702827012...	π
2	27,6701822178...	2π
3	31,7179799547...	3π
4	35,4671842971...	4π
5	38,9992099640...	5π
6	42,3635503920...	6π
7	45,5930289815...	7π
8	48,7107766217...	8π
9	51,7338428133...	9π
10	54,6752374468...	10π
11	57,5451651795...	11π
12	60,3518119691...	12π
13	63,1018679824...	13π
14	65,8008876380...	14π
15	68,4535449175...	15π

Az n index választása egy kissé furcsa. Eredetileg úgy határozták meg, hogy az index ott nulla, ahol a megfelelő pont nagyobb, mint a legkisebb pozitív nullhely a kritikus egyenes mentén. Megjegyezzük, hogy ez a ${\displaystyle \theta }$-függvény oszcillál a kis abszolútértékű valós helyek körül, ezért nem invertálható a [-24,24] szakaszon. Ezért és páratlansága folytán a théta-függvénynek van egy szimmetrikus Gram-pontja a 0 helyen és -3 indexszel.

A Gram-pontok hasznosak a nullhelyek kiszámításában. A ${\displaystyle g_{n}}$ Gram-pontban

${\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}+ig_{n}\right)=\cos(\theta (g_{n}))Z(g_{n})=(-1)^{n}Z(g_{n}),}$

és ha ez két egymást követő Gram-pontban is pozitív, akkor a kettő között van gyök.

A Gram-törvény miatt a gyökök valós része pozitív, míg a képzetes rész előjele szabályos szakaszonként változik.

${\displaystyle (-1)^{n}\,Z\left(g_{n}\right)>0}$

A gyökök száma a 0-tól T-ig terjedő szakaszon ${\displaystyle N\left(T\right)}$, és meghatározható, mint

${\displaystyle N\left(T\right)={\frac {\theta (T)}{\pi }}+1+S(T),}$

ahol az ${\displaystyle S(T)}$ hibatag aszimptotikusan úgy nő, mint ${\displaystyle \log T}$. Ha bebizonyosodna, hogy ${\displaystyle g_{n}}$ engedelmeskedik a Gram-törvénynek, akkor a gyökök száma a kritikus sávban egyszerűen

${\displaystyle N\left(g_{n}\right)=n+1.}$

Ma már tudjuk, hogy nagyobb távolságra nem igaz a Gram-törvénynek az a kitétele, hogy egy Gram-szakaszban pontosan egy gyök található. Az első eltérés a 126. Gram-pont után van, amit a 127. gyök követ. Ezt maga Gram is csak kis indexekre állította. Később Hutchinson Gram-törvényként azt az állítást emlegette, hogy a gyököket Gram-pontok választják el.

• Edwards, H. M. (1974), Riemann's Zeta Function, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-41740-0
• Gabcke, W. (1979), Neue Herleitung und explizierte Restabschätzung der Riemann-Siegel-Formel. Thesis, University of Göttingen. Revised version (eDiss Göttingen 2015)
• Gram, J. P. (1903), "Note sur les zéros de la fonction ζ(s) de Riemann", Acta Mathematica 27 (1): 289–304, DOI 10.1007/BF02421310

Ez a szócikk részben vagy egészben a Riemann–Siegel theta function című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.