|
Ez a szócikk vagy szakasz lektorálásra, tartalmi javításokra szorul. A felmerült kifogásokat a szócikk vitalapja részletezi (vagy extrém esetben a szócikk szövegében elhelyezett, kikommentelt szövegrészek). Ha nincs indoklás a vitalapon (vagy szerkesztési módban a szövegközben), bátran távolítsd el a sablont! Csak akkor tedd a lap tetejére ezt a sablont, ha az egész cikk megszövegezése hibás. Ha nem, az adott szakaszba tedd, így segítve a lektorok munkáját! |
A numerikus analízisben a Richardson extrapoláció egy sorozatgyorsító módszer, amivel felgyorsíthatjuk egy sorozat konvergenciáját. Az eljárás Lewis Fry Richardson angol matematikusról kapta a nevét, aki a technikát a 20. század elején vezette be.[1][2] Birkhoff és Rota szerint „…a gyakorlati számításokban a hasznosságát nem igazán lehet túlbecsülni.”[3]
Gyakorlati alkalmazásai között szerepel a Romberg integrálás, amely Richardson-extrapolációt alkalmaz a trapéz-szabályra, és a Bulirsch–Stoer-algoritmus, amely differenciál egyenletek megoldására használható.
Példa
Tegyük fel, hogy egy rendű közelítése egy alakú függvénynek, tehát . Ekkor
a Richardson extrapoláltja A(h)-nak; azaz a hm rendű megközelítése A-nak, ha m>n.
Általános esetben, a „2” tényező helyettesíthető más tényezővel, a lent bemutatott módon.
Gyakran könnyebb elérni egy adott pontosságot R(h)-t használva A(h') helyett, egy sokkal kisebb h' -val, ami problémákat okozhat a korlátozott pontosság (kerekítési hiba) és/vagy a szükséges számítások többlete miatt (ld. lenti példák).
Általános képlet
Legyen A(h) egy megközelítése A-nak, ami a pozitív h lépésszámtól függ, egy alakú hibaképlettel, ahol ai ismeretlen és ki ismert állandók úgy, hogy hki > hki+1.
A keresett érték megadható a
összefüggéssel, ami leegyszerűsíthető a nagy O jelöléssel
h lépésközt használva és h / t-t egy adott t-re, a két képlet A-ra:
A második egyenletet beszorozva tk0-val és kivonva az elsőt kapjuk a
egyenletet, amely A-ra megoldva a következőt adja:
Az eljárás által egy jobb közelítést értünk el A-ra, kiküszöbölve a legnagyobb hibatényezőt, O-t (hk0). Az eljárás megismételhető még több hibatényező eltávolításáért és ezáltal még jobb közelítés eléréséért.
Egy általános rekurzív összefüggés állapítható meg a közelítésekre:
úgy, hogy
- , .
Megjegyzendő, hogy a Richardson-extrapoláció lineáris sorozat-transzformációnak fogható fel.
Példa
Taylor-sorbafejtéssel,
f(x) deriváltja megadható
formában.
Ha a derivált eredeti közelítéseit
formában választjuk meg, akkor ki = i+1.
t = 2 esetben az első extrapoláció A-ra
- lesz.
Az új közelítéshez
újraextrapolálhatunk,
- kapva
.
Hivatkozások
- ↑ Richardson, L. F. (1911). „The approximate arithmetical solution by finite differences of physical problems including differential equations, with an application to the stresses in a masonry dam”. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series A 210, 307–357. o. DOI:10.1098/rsta.1911.0009.
- ↑ Richardson, L. F. (1927). „The deferred approach to the limit”. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series A 226, 299–349. o. DOI:10.1098/rsta.1927.0008.
- ↑ 126. o. Birkhoff, Garrett, Gian-Carlo Rota. Ordinary differential equations, 3rd edition, John Wiley and sons (1978). ISBN 047107411X. OCLC 4379402
- Extrapolation Methods. Theory and Practice by C. Brezinski and M. Redivo Zaglia, North-Holland, 1991
Külső linkek