Apja, Ernst Stäckel egy lányiskola igazgatója és tanfelügyelő volt, aki tudatában lévén az oktatás fontosságának a neves berlini Joachimsthalsches Gymnasiumba íratta a fiát. Az ifjú Paul kiváló eredménnyel végezte a középiskolát, majd a berlini egyetemen matematikát és fizikát tanult. Emellett látogatta a filozófiai, pszichológiai, történelmi és neveléselméleti előadásokat is. Tanárai között voltak Leopold Kronecker, Ernst Eduard Kummer, Albert Wangerin és Karl Theodor Wilhelm Weierstrass, ezek közül Weierstrass hatott rá a legnagyobb mértékben. A tanárok felfigyeltek az ifjú Stäckel tehetségére és szorgalmára.
Stäckel 1884-ben végezte el az egyetemet, majd 1886-ban matematika–fizika tanári képesítést is szerzett. A kötelező katonai szolgálat (1886–1887) után Berlinben volt gimnáziumi tanár. Noha felettesei kedvezően értékelték, Stäckel három tanév után elhagyta a tanári pályát és a kutatást választotta. A doktori fokozatot 1891-ben érte el, A Hamilton-Jacobi differenciálegyenletek integrálása a változók szeparálásával című értekezésével. Ugyanebben az évben megnősült, Halléba költözött, és az ottani egyetemen tartott előadásokat. A hallei időszak alatt számos dolgozatot tett közzé, főleg a matematikai analízis és differenciálgeometria területén, amelyekkel felhívta magára David Hilbert figyelmét. A hallei és a lipcsei egyetemek közös szemináriuma alkalmával ismerkedett meg a lipcsei Friedrich Engellel, akivel közeli barátságba került. Utóbb több közös munkájuk született a nemeuklideszi geometria, illetve a matematika története területén. Legfontosabb ezek közül Leonhard Euler összes műveinek kiadása volt.
Stäckelt 1895-ben a königsbergi egyetemre hívták, Hermann Minkowski utódjául és javaslatára. 1897-től kezdve nyolc éven át a kieli egyetem professzora volt. Ezt követően Hannoverben, majd a badeni nagyherceg meghívására a karlsruhei egyetemen tanított, ahol magas társadalmi pozíciót is szerzett: a nagyherceg titkos tanácsosi rangra emelte, számos bizottság és tanács tagja volt, majd 1910–1911-ben az egyetem rektori tisztségét is betöltötte. 1912-től a heidelbergi egyetem második matematika tanszékének megszervezésével bízták meg. 1900-ban a Magyar Tudományos Akadémia tiszteleti tagjává választották.
Az első világháború kitörésekor az ötvenes éveiben járó Stäckel tisztnek jelentkezett a hadseregbe, de közben folytatta egyetemi tevékenységét is. A háború súlyos családi veszteséget hozott számára: Gerard nevű tizenhat éves fia, aki kadétként szolgált, 1915-ben elesett Franciaországban. A háború végére Stäckel egészsége megromlott, és 57 évesen agydaganatban hunyt el.
Művei
Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauss, eine Urkundensammlung zur Vorgeschichte der nichteuklidischen Geometrie (Friedrich Engellel) Leipzig: Teubner. 1895
Briefwechsel zwischen Carl Friedrich Gauss und Wolfgang Bolyai (kiadja Paul Stäckel és Schmidt Ferenc). Leipzig: B.G. Teubner. 1899
Wolfgang Bolyai und Johann Bolyai geometrische Untersuchungen. Leipzig, Berlin: Teubner. 1913
Die mathematische Ausbildung : der Architekten, Chemiker und Ingenieure an den deutschen Technischen Hochschulen. Lepzig: Teubner. 1915
Gauss als Geometer. Göttingen. 1917
Die Allheillehre Johann Bolyais. in: János Bolyai, der Mozart der Mathematik, Leben und Lehre. Hamburg: Autorenverlag Annemarie Maeger. 1999
