Apja Neumann Herman nagykereskedő volt, akinek öt gyermeke közül négy, köztük Henrik is, Miskolcon született. Iskolai tanulmányait Miskolcon végezte, majd a Bécsi Egyetemen szerzett orvosi diplomát. Ezután a szintén magyar származású Politzer Ádám magánklinikáján dolgozott, majd 1900-ban az egyetem fül-, orr- és gégeklinikáján lett asszisztens. Az évek során szakterülete elismert tekintélyévé vált, és 1907-ben egyetemi magántanári címet kapott. 1919-ben a klinika igazgatója lett. 1909 után nem járt Magyarországon, de a miskolci sajtóban folyamatosan figyelemmel kísérték tevékenységét.
Gyógyította Ferenc Józsefet is, akitől – a legenda szerint – nem akart elismerést elfogadni. 1918-ban azonban – az uralkodó környezetének javaslatára – az apjának adtak nemességet héthársi előnévvel. Ő maga a nemesi előnevet soha nem használta, bátyja, Neumann Adolf miskolci bankár viszont igen. Állítólag megtagadta Hitler kezelését.
1938-ban a Gestapo letartóztatta, de brit közbenjárásra szabadon engedték. Ezután a németek megbízásából az Egyesült Államokba utazott, hogy elősegítse az osztrák és német zsidók amerikai beutazásának engedélyezését (a németek személyenként 250 dollárt kértek volna a befogadó államtól). Az egyébként sikertelen tárgyalások közben New Yorkbanagyvérzést kapott, és elhunyt. Haláláról a miskolci sajtó is nekrológban emlékezett meg.
Nemzetközi hírnevét elsősorban eredeti műtéteinek köszönheti. Az 1909. évi budapesti orvoskongresszuson Koponyalékelés narkózis nélkül című tanulmányáért megkapta a Lenval anatómiai, fiziológiai és patológiai díjat. Elsőként operált helyi érzéstelenítéssel középfülgyulladást és hajtott végre koponyaműtétet. A helyi érzéstelenítéshez kokain és epinefrin keverékét használta. Sebészeti eljárást is neveztek el róla.
Főbb munkái
Der otitische Kleinhirnabszers… Bécs, 1906
Geschichte der Ohrenheilkunde (két fejezetben). Bécs, 1912
Handbuch der Hals-, Nasen- und Ohrenheilkunde. Bécs, 1926
Neumann Henrik. In Magyar zsidó lexikon. Ujvári Péter (szerk.), Nagy Péter Tibor (szerk.). Internetes változat. (hely nélkül): OSZK MEK Osztály. 2006. 631. o. ISBN 9632005198