Mértani sorozatnak nevezzük az olyan sorozatokat, amelyekben (a másodiktól kezdve) bármelyik tag és az azt megelőző tag hányadosa állandó. Ezt a hányadost idegen szóval kvóciensnek nevezzük. Jele: q.

Példák mértani sorozatokra:

• (a₁=3, q=89 ) 3, 9, 27, 81, …
• (a₁=1, q=54) 1, 2, 4, 8, 16, 32, …
• (a₁=7, q=10) 7, 70, 700, 7000, …

Legyen a sorozat n-edik tagja a_n. Ekkor:

${\displaystyle a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}}$

vagy

${\displaystyle |a_{n}|={\sqrt {a_{n-i}\cdot a_{n+i}}}}$ ahol ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$

Ez utóbbi azt is jelenti, hogy a mértani sorozat n-edik tagja az n+i-edik és az n-i-edik tagjának a mértani közepe. Ezt gyakran a mértani sorozat definíciójának is tekinti, a két képlet ugyanis következik egymásból:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}^{2}&=a_{n-1}\cdot a_{n+1}&:(a_{n}\cdot a_{n-1})\\{\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}&={\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=q\end{aligned}}}$

és innen indukcióval következik az első képlet. Hasonlóan

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n-1}&=a_{1}q^{n-2}\\a_{n+1}&=a_{1}q^{n}\\a_{n-1}a_{n+1}&=a_{1}^{2}q^{n-2}q^{n}=\\&=a_{1}^{2}q^{2n-2}=a_{1}^{2}q^{2(n-1)}=\\&=(a_{1}q^{n-1})^{2}=a_{n}^{2}\end{aligned}}}$

A mértani sorozat összegképletének megtalálásához a sorozatban jelenlévő önhasonlóságot tudjuk kihasználni.^[1] Nézzük a sorozatot és q-szorosát.

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=&1&+&q&+&q^{2}&+&q^{3}&+&\cdots &+&q^{n-1}&\\qS_{n}&=&&&q&+&q^{2}&+&q^{3}&+&\cdots &+&q^{n-1}&+q^{n}\\\end{aligned}}}$

Ha kivonjuk az eredeti összegből a q-szorosát, a következőt kapjuk:

${\displaystyle (1-q)S_{n}=1-q^{n}.}$

Az első elemet - mivel minden tagban megjelenik szorzótényezőként - elég csak a végén figyelembe venni, így

${\displaystyle S_{n}=a_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=a_{1}{\frac {q^{n}-1}{q-1}}.}$

A kapott képlet viszont csak ${\displaystyle q\neq 1}$ esetén értelmes. Ha a hányados egy, akkor - mivel minden tag egyenlő - ${\displaystyle S_{n}=a_{1}\cdot n}$.

Ha az összegzés első eleme ${\displaystyle q^{m}}$, utolsó eleme ${\displaystyle q^{n}}$, akkor a képlet a következőképpen változik:

${\displaystyle \sum _{k=m}^{n}a_{1}q^{k}=a_{1}\left({\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}-{\frac {1-q^{m}}{1-q}}\right)=a_{1}{\frac {q^{m}-q^{n+1}}{1-q}},}$

vagy ${\displaystyle \sum _{k=m}^{n}a_{1}q^{k}=a_{1}(n-m+1)}$ ha ${\displaystyle q=1}$.

Az összegképlet még akkor is működik, ha akár az első elem, akár a hányados komplex szám.

A mértani sor összegképletének ismeretében több, hasonló sorozat összegképlete is könnyedén megtalálható.

Ezen sorozat összegképletét többféleképpen is megkaphatjuk, legegyszerűbben úgy, ha deriváljuk a mértani sorozatra vonatkozó összefüggést.

${\displaystyle {\begin{aligned}1+q+q^{2}+q^{3}+\cdots +q^{n-1}+q^{n}&={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}\left(1+q+q^{2}+q^{3}+\cdots +q^{n-1}+q^{n}\right)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}\\1+2q+3q^{2}+4q^{3}+\cdots +nq^{n-1}&={\frac {nq^{n+1}-(n+1)q^{n}+1}{(1-q)^{2}}}\\\end{aligned}}}$

Úgy is megkaphatjuk az összegképletet, ha táblázatba rendezzük a tagokat a következőképpen:

	1.	2.	3.	4.	⋯	n.	sor összege
1.	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle q}$	${\displaystyle q^{2}}$	${\displaystyle q^{3}}$	⋯	${\displaystyle q^{n-1}}$	${\displaystyle {\frac {1-q^{n}}{1-q}}}$
2.		${\displaystyle q}$	${\displaystyle q^{2}}$	${\displaystyle q^{3}}$	⋯	${\displaystyle q^{n-1}}$	${\displaystyle {\frac {q-q^{n}}{1-q}}}$
3.			${\displaystyle q^{2}}$	${\displaystyle q^{3}}$	⋯	${\displaystyle q^{n-1}}$	${\displaystyle {\frac {q^{2}-q^{n}}{1-q}}}$
4.				${\displaystyle q^{3}}$	⋯	${\displaystyle q^{n-1}}$	${\displaystyle {\frac {q^{3}-q^{n}}{1-q}}}$
⋯					⋯	⋯	⋯
n.						${\displaystyle q^{n-1}}$	${\displaystyle {\frac {q^{n-1}-q^{n}}{1-q}}}$
oszlop összege	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2q}$	${\displaystyle 3q^{2}}$	${\displaystyle 4q^{3}}$	⋯	${\displaystyle nq^{n-1}}$

Látható, hogyha oszloponként adjuk összeg az elemeket, akkor a keresett összeget kapjuk. A oszlopok összegeinek összege és a sorok összegeinek összege egyenlő kell hogy legyen, hiszen ugyanazokat a kifejezéseket adjuk összeg mindkét esetben. Ez az összeg pedig pont az, amit keresünk.

${\displaystyle {\begin{aligned}1+2q+3q^{2}+4q^{3}+\cdots +nq^{n-1}&={\frac {1-q^{n}}{1-q}}+{\frac {q-q^{n}}{1-q}}+\cdots +{\frac {q^{n-1}-q^{n}}{1-q}}\\&={\frac {1+q+q^{2}+q^{3}+\cdots +q^{n-1}-nq^{n}}{1-q}}\\&={\frac {{\frac {1-q^{n}}{1-q}}-nq^{n}}{1-q}}\\&={\frac {nq^{n+1}-(n+1)q^{n}+1}{(1-q)^{2}}}\\\end{aligned}}}$

A harmadik módszer, amivel megtalálhatjuk az összegképletet, az pont ugyanaz, mint amit a mértani sorozatnál használtunk. A mértani sorozat önhasonlóságát kihasználva vizsgáljuk a sorozat q-szorosát.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n-1}(k+1)q^{k}&=&1&+&2q&+&3q^{2}&+&4q^{3}&+&\cdots &+&nq^{n-1}&\\q\sum _{k=0}^{n-1}(k+1)q^{k}&=&&&q&+&2q^{2}&+&3q^{3}&+&\cdots &+&(n-1)q^{n-1}&+nq^{n}\\\end{aligned}}}$

Ha kivonjunk az eredeti összegből a q-szorosát, azt kapjuk, hogy

${\displaystyle (1-q)\sum _{k=0}^{n-1}(k+1)q^{k}=1+q+q^{2}+\cdots +q^{n}-nq^{n}.}$

Az algebrai átalakítások elvégzése után ugyanazt a képletet kapjuk, mint a másik két módszerrel.

Így

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}(k+1)q^{k}={\frac {nq^{n+1}-(n+1)q^{n}+1}{(1-q)^{2}}}.}$

Ennél a sorozatnál is kihasználhatjuk az önhasonlóságot, vagy akár alkalmazhatjuk a táblázatos felírást, azonban ha jobban megnézzük, a fenti sorozat nem más, mint az előző q-szorosa, tehát az összegképlet még könnyebben meghatározható.

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}kq^{k}=q\cdot \sum _{k=0}^{n-1}(k+1)q^{k}={\frac {nq^{n+2}-(n+1)q^{n+1}+q}{(1-q)^{2}}}}$

Egy végtelen mértani sor egy olyan végtelen összeg, amelyben a szomszédos tagok hányadosa állandó (azaz tagjai egy mértani sorozat elemei). A mértani (és rokon) sorozatokra vonatkozó összegképlet határértékének vizsgálatával megállapítható, hogy egy végtelen mértani sor csak akkor konvergál véges értékhez, ha a hányados abszolút értéke kisebb, mint 1. A végtelen mértani sor általánosítása a Neumann-sor.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }q^{n}&=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}q^{k}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}\\&={\frac {1}{1-q}}-\lim _{n\to \infty }{\frac {q^{n+1}}{1-q}}\quad q^{n+1}\to 0{\text{ amikor }}n\to \infty {\text{ ha }}|q|<1\\&={\frac {1}{1-q}}{\text{ ha }}|q|<1\\\end{aligned}}}$

Ha az összeg első eleme ${\displaystyle q^{m}}$, akkor

${\displaystyle \sum _{n=m}^{\infty }q^{n}={\frac {q^{m}}{1-q}}.}$

A mértani sorra vonatkozó összegképlet deriválásával tetszőleges variánsok összegképleteit kaphatjuk meg (természetesen azok is csak ${\displaystyle |q|<1}$ esetén konvergálnak).

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }nq^{n-1}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}\sum _{n=0}^{\infty }q^{n}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} q}}{\frac {1}{1-q}}={\frac {1}{(1-q)^{2}}}}$

Ebből könnyedén felírható, hogy

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }nq^{n}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}.}$

Deriválással hasonlóan számítható, hogy

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(n+2)(n+1)q^{n}={\frac {2}{(1-q)^{3}}},}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(n+3)(n+2)(n+1)q^{n}={\frac {6}{(1-q)^{4}}}.}$

Mivel a végtelen mértani sorok konvergálnak bizonyos feltételek mellett, így több egyszerűen alkalmazható konvergenciatesztnek is alapját képezik, mint pl. a gyök-teszt vagy a hányados-teszt.

Az

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots }$

összegfüggés értelmezhető az ${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}}$ kifejezés Taylor-soraként is, amely ${\displaystyle |x|<1}$ esetén konvergens. Ebből aztán további hatványsorokat lehet előállítani.

${\displaystyle {\begin{aligned}\arctan(x)&=\int {\frac {1}{1+x^{2}}}\mathrm {d} x\\&=\int {\frac {1}{1-(-x^{2})}}\mathrm {d} x\\&=\int \left(1+(-x^{2})+(-x^{2})^{2}+(-x^{2})^{3}+\cdots \right)\mathrm {d} x\\&=\int \left(1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\cdots \right)\mathrm {d} x\\&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}}{\text{ ha }}|x|<1\\\end{aligned}}}$

A kapott formula ${\displaystyle x=1}$ esetén is konvergál, a határértéke pedig ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$.

${\displaystyle 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}}$

Ezen összefüggés a híres Leibniz-féle sor.

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1+x)&=\int {\frac {1}{1+x}}\mathrm {d} x\\&=\int {\frac {1}{1-(-x)}}\mathrm {d} x\\&=\int \left(1+(-x)+(-x)^{2}+(-x)^{3}+\cdots \right)\mathrm {d} x\\&=\int \left(1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots \right)\mathrm {d} x\\&=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{n}}{n}}{\text{ ha }}|x|<1\\\end{aligned}}}$

A fenti összefüggés a híres Mercator-sor, amely ${\displaystyle x=1}$ esetén is konvergens, ebből adódik a ${\displaystyle \ln(2)}$ sokak által ismert feltételesen konvergens sorbafejtése:

${\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots =\ln(2)}$.

Írjuk fel tényezőnként ezt a szorzatot:${\displaystyle a_{1}\cdot (a_{1}\cdot q)\cdot (a_{1}\cdot q^{2})\cdot (a_{1}\cdot q^{3})\cdot ...\cdot (a_{1}\cdot q^{n-1})=a_{1}^{n}\cdot q^{1+2+3+...+n-1}}$.

Mivel: ${\displaystyle 1+2+3+...+n-1={\frac {n(n-1)}{2}}}$ (lásd: számtani sorozat), a mértani sorozat első n tagjának szorzata:

${\displaystyle a_{1}^{n}\cdot q^{\frac {n(n-1)}{2}}}$

Állítás: Ha ${\displaystyle (a_{i})}$ végtelen mértani sorozat, akkor akkor és csak akkor tart nullához, ha hányadosának abszolútértéke egynél kisebb.

Bizonyítás: A bizonyítást két irányból végezzük el. Egyszer belátjuk, hogy a sorozat konvergens, és határértéke nulla, ha a hányados abszolútértéke egynél kisebb. Másodszor belátjuk, hogy a sorozat nem tart nullához, ha a hányados abszolútértéke nem egynél kisebb.

1. A sorozat konvergens, és határértéke nulla, ha a hányados abszolútértéke egynél kisebb.

Adva legyen egy ${\displaystyle \varepsilon >0}$ valós szám. Ehhez keresünk egy ${\displaystyle i_{0}}$ indexet, hogy minden ${\displaystyle i>i_{0}}$ esetén

${\displaystyle |a_{i}|<\varepsilon }$. ${\displaystyle \mathbf {(1)} }$

Mivel ${\displaystyle 0<|q|<1}$, és ${\displaystyle {\tfrac {\varepsilon }{|a_{0}|}}>0}$, létezik

${\displaystyle i_{0}=:{\frac {\ln \left({\frac {\varepsilon }{|a_{0}|}}\right)}{\ln(|q|)}}}$.

ahol ${\displaystyle \ln }$ a természetes logaritmus.

Amiatt, hogy ${\displaystyle |q|<1\Rightarrow \ln(|q|)<0}$, megfordul az összes ${\displaystyle i>i_{0}}$ egyenlőtlenség, ha szorzunk ${\displaystyle \ln(|q|)}$-val:

${\displaystyle i\cdot \ln |q|<i_{0}\cdot \ln |q|=\ln \left({\frac {\varepsilon }{|a_{0}|}}\right)}$;

Az ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ indexekre ${\displaystyle i\cdot \ln |q|=\ln \left(|q|^{i}\right)=\ln \left(\left|q^{i}\right|\right)}$; az egyenlőtlenség iránya megmarad, ha az ${\displaystyle e}$ számot ezekre a kitevőkre emeljük:

${\displaystyle \left|q^{i}\right|<{\frac {\varepsilon }{|a_{0}|}}}$;

Az ${\displaystyle |a_{0}|>0}$ egyenlőtlenség miatt az egyenlőtlenség iránya megmarad, ha szorzunk az ${\displaystyle |a_{0}|\cdot \left|q^{i}\right|=\left|a_{0}\cdot q^{i}\right|}$ nevezővel:

${\displaystyle \left|a_{0}\cdot q^{i}\right|<\varepsilon }$; így (1), q. e. d.

2. A sorozat határértéke nem lehet nulla, ha a hányados abszolútértéke nem egynél kisebb. Más szavakkal, ha ${\displaystyle |q|\geq 1}$, akkor a sorozat nem tart nullához.

Ha ${\displaystyle (a_{i})}$ nem nullsorozat, akkor választható ${\displaystyle \varepsilon >0}$ úgy, hogy minden ${\displaystyle a_{i}}$ esetén ${\displaystyle |a_{i}|\geq \varepsilon }$.

Az ${\displaystyle |q|\geq 1}$ feltétel mellett szorozva ${\displaystyle \left|a_{0}\cdot q^{i}\right|}$-vel adódik, hogy:

${\displaystyle \left|a_{0}\cdot q^{i+1}\right|\geq \left|a_{0}\cdot q^{i}\right|}$, damit:

${\displaystyle |a_{i+1}|\geq |a_{i}|}$. ${\displaystyle \mathbf {(2)} }$,

mivel az egyenlőtlenség iránya ${\displaystyle \left|a_{0}\cdot q^{i}\right|>0}$ miatt megmarad.

Választunk egy ${\displaystyle \varepsilon }$ valós számot, hogy ${\displaystyle |a_{0}|\geq \varepsilon >0}$. Így (2)-vel teljesül, hogy minden ${\displaystyle i>0}$ esetén: ${\displaystyle |a_{i}|\geq \varepsilon }$, q. e. d.

A mértani sorozat növekedési folyamatot ír le, melynek során egy mennyiség minden lépésben ugyanannyiszorosára nő. Példák:

Legyen a kamatos kamat kamata 5%! Ez azt jelenti, hogy a tőke minden évben 1,05-szeresére nő. Ez a növekedési tényező. A tőke minden évben ${\displaystyle q=1{,}05}$-szeresére nő. Ha a kezdőtőke 1000 euró, akkor

• az első év után a tőke

${\displaystyle 1000\,{\text{euró}}\cdot 1{,}05=1050\,{\text{euró}},}$

• a második év után

${\displaystyle 1000\,{\text{euró}}\cdot 1{,}05^{2}=1102{,}50\,{\text{euró}},}$

• a harmadik év után

${\displaystyle 1000\,{\text{euró}}\cdot 1{,}05^{3}=1157{,}63\,{\text{euró}}}$

és így tovább.

A hangszerek különbözőképpen hangolhatók, illetve különböző hangolással készíthetők. Ezek egyike a temperált hangolás. Ez arról nevezetes, hogy hangközei egyenletesek, azaz minden hangközlépés (kis szekund) a hang frekvenciáját ugyanannyiszorosára változtatja. Egy oktávban 12 kis szekund van, és tudjuk, hogy a (felfelé lépő) oktáv kétszeresére növeli a frekvenciát. Így az egyes kis szekundok frekvenciaaránya ${\displaystyle q={\sqrt[{12}]{2}}}$. Ha az oktávot az ${\displaystyle a_{0}}$ frekvenciájú hangról indulva kezdjük építeni, akkor az oktávban a következő frekvenciák szerepelnek:

${\displaystyle f(i)=a_{0}\cdot \left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{i}}$,

ahol az ${\displaystyle i}$ 0-tól 12-ig terjed.

A mértani sorozat fogalmát már az ókori egyiptomiak is ismerték, és összegük is érdekelte őket; konkrét feladatok esetén ki is tudták számolni az összeget. Megtalálták ugyanis a Rhind-papiruszon a következő feladat – amely később feladatgyűjteményekben és népi találós kérdésekben is felbukkant – igen tömör megoldását: „Ha 7 ház mindegyikében 7 macska van, mindegyik megfogott 7 egeret, minden egér megevett 7 búzaszemet, minden búzaszemből 7 hekat^[2] búza termett volna, hány hekat búza lett volna abból?” A papiruszon maga a feladat nem szerepel, csak a megoldás szűkszavú leírása ("Ház: 7 – macska: 49 – egér: 343 – ..." stb.), de lehetetlen nem rájönni; továbbá a papirusz nem utal az összegképlet ismeretére: végigszámolták a sorozat tagjait, és úgy adták össze.^[3]

Hasonló példa szerepel egy XIX. századi angol nonszensz mondókában:

(Ez a példa az Egyiptomitól annyiban tér el, hogy beugratós feladat: csak egyvalaki ment St. Ives-ba, mégpedig a vers elbeszélője, az asszonyos-zsákos kompánia St. Ives felől jött, nem pedig oda ment).

• Számtani sorozat
• Számtani-mértani sorozat
• Numerikus sorok
• Harmonikus sor
• Geometriai eloszlás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Geometrische Folge című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.