Lissajous-görbe

A Lissajous-görbéket egymásra merőleges rezgések által kijelölt síkgörbék. A görbéket Jules Antoine Lissajous írta le 1857-ben.

A Lissajous-görbék meglehetősen ismertek, mivel igen látványos és egyszerűen előállítható alakzatok, így akár díszítőelem funkciót is betölthetnek.

Leírás

A görbéket két, egymásra merőleges rezgés eredőjeként kapjuk.^[1] Elképzelhető ugyan más szöget bezáró mozgás is, azonban ezek is mindig felbonthatóak merőleges és párhuzamos komponensekre.

A görbék paraméteres alakja:

{\begin{aligned}x(t)&=a_{1}\cdot \sin(\alpha _{1}t+\varphi )\\y(t)&=a_{2}\cdot \sin(\alpha _{2}t)\end{aligned}}

A Lissajous-görbék egy téglalapot töltenek ki, aminek oldalhosszai a rezgések amplitúdója. A téglalapok oldalait érinti, az érintési pontok számának aránya a frekvenciák arányával egyenlő. Ennek következménye, hogy ha a két frekvencia aránya irracionális, a görbe a téglalapot kitölti. Másképpen fogalmazva a görbe periodikus függvény, ha a frekvenciák aránya racionális, és nem periodikus, ha irracionális szám.^[2]

Maga a görbe elképzelhető úgy is, hogy egy hengerfelületre írunk szinuszhullámot, és ezt a koordináta-rendszerbe vetítjük. A fázisszög a henger adott szögű elforgatásával egyenértékű, a henger magassága és átmérője az amplitúdókkal egyenlő, a hullám frekvenciája pedig a rezgések frekvenciájának arányával egyezik meg.

A legegyszerűbb eset

Ha a két frekvencia egyenlő, akkor a görbe vizsgálata egyszerű módszerekkel elvégezhető.

Ha $\varphi =0$ , akkor ${\frac {x}{a_{1}}}={\frac {y}{a_{2}}}$ , azaz a görbe egyenes, méghozzá az $a_{1}$ és $a_{2}$ oldalú téglalap átlója.
Ha $\varphi ={\frac {\pi }{2}}$ , akkor a szögfüggvények közötti összefüggéseket figyelembe véve kapjuk, hogy

{\begin{aligned}{\frac {x}{a_{1}}}&=\cos(\alpha t)\\{\frac {y}{a_{2}}}&=\sin(\alpha t)\end{aligned}}

Innen a Pitagorasz-tételt alkalmazva a görbe egyenlete az

\left({\frac {x}{a_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{a_{2}}}\right)^{2}=1

alakot ölti. Ez pontosan az ellipszis egyenlete.

Némileg bonyolultabb belátni, hogy ha $\varphi =\pm {\frac {\pi }{4}}$ , akkor a görbe egy olyan ellipszis, amelynek a nagytengelye az $a_{1};a_{2}$ oldalú téglalp átmérőjén fekszik. Ehhez a másodrendű görbék ismerete szükséges.

Az összetettebb esetekben már mélyebb matematikai ismeretekre van szükség, ezeket itt nem részletezzük.

Alkalmazások

A Lissajous-görbéket a harmonográf használata során alkalmazzuk. Ekkor harmonikus rezgőmozgásokat az általuk létrehozott rajzok segítségével elemzünk. Ha egy ismeretlen rezgést egy rá merőleges másik rezgéssel összekapcsolunk, a kirajzolt ábra alapján a paramétereit meg tudjuk határozni.

Egyes esetekben logóként is alkalmazzák a Lissajous-görbéket, mivel látványos, ugyanakkor egyszerű alakzatok. Ilyen például az Australian Broadcasting Corporation emblémája.

Források

↑ Holics László, Csákány Antal, Flórik György, Gnädig Péter, Juhász András, Sükösd Csaba, Tasnádi Péter. Fizika (2009). ISBN 978 963 05 8487 6
↑ Dr. Erostyák János, Dr. Demény András, Dr. Szabó Gábor, Dr. Trócsányi Zoltán.szerk.: Dr. Erostyák János, Dr. Litz József: Fizika, 1. Budapest-Debrecen-Pécs-Szeged: Nemzeti tankönyvkiadó (2005). ISBN 963 19 5719 5

Read other articles:

KRI Alkura (830)

KRI Alkura (830) Sejarah Indonesia Nama KRI AlkuraAsal nama Ular alkuraPembangun Fasilitas Pemeliharaan dan Perbaikan Kapal Perang TNI AL Batam (Fasharkan), Batam, IndonesiaMulai berlayar 20 Maret 2009Identifikasi 830 Ciri-ciri umum Kelas dan jenis patroli kelas TarihuPanjang 40 meter (131,23 ft)Lebar 7,3 meter (23,95 ft)Pendorong 2 x mesin (total 3.805 KW)Kecepatan 29 knot (maksimal)26 knot (operasi)Jangkauan 18.520 kilometer (10.000 nmi) KRI Alkura (830) adalah sebuah kapal ...

رباب الكاظمي

رباب الكاظمي معلومات شخصية الميلاد 1337 هـ 30 يوليو 1918(1918-07-30)القاهرة، الدولة العثمانية الوفاة 1419 هـ 9 فبراير 1998 (79 سنة)لندن، المملكة المتحدة الإقامة العراق الجنسية عراقية العرق عربية الديانة مسلمة الأب عبد المحسن الكاظمي الأم عائشة محمود الحياة العملية المدرسة ...

Codex Seidelianus I

NaskahUncial 011Codex Seidelianus ICodex Seidelianus INamaSeidelianus ITandaGeTeksInjilWaktuabad ke-9Aksarabahasa YunaniKini diBritish LibraryUkuran25,7 cm kali 21,5 cmJenisteks BizantinKategoriVTangankasar Codex Seidelianus I, diberi kode siglum Ge atau 011 (penomoran Gregory-Aland), ε 87 (penomoran von Soden), juga dikenal sebagai Codex Wolfii A dan Codex Harleianus[1] adalah sebuah naskah Perjanjian Baru kuno dalam bahasa Yunani [yang ditulis dengan jenis huruf [Unc...

Yvrandes

Yvrandes L'église Notre-Dame. Administration Pays France Région Normandie Département Orne Arrondissement Argentan Commune Tinchebray-Bocage Intercommunalité Domfront Tinchebray Interco Statut Commune déléguée Maire délégué Mandat Dominique Maupas 2020-2026 Code postal 61800 Code commune 61513 Démographie Gentilé Yvrandais Population 154 hab. (2019) Densité 15 hab./km2 Géographie Coordonnées 48° 43′ 10″ nord, 0° 45′ 02″ ouest A...

الكلية الكندية الدولية

الكلية الكندية الدوليةالمعهد الكندي العالي شعار الكلية الكندية الدولية معلومات التأسيس 2004 (منذ 20 سنة) النوع معهد خاص المعاهد هندسة وإعلام وإدارة الشُعب 4 الموقع الجغرافي إحداثيات 30°02′05″N 31°25′46″E / 30.0347°N 31.4295°E / 30.0347; 31.4295 المدينة فرعين بالشيخ زايد والقاهر...

Venus (mitologi)

Untuk kegunaan lain, lihat Venus (disambiguasi). Venus with a Mirror (Venus dengan cermin) oleh Titian, 1555 Patung Vénus de Milo di museum Louvre, Prancis.Venus adalah salah satu dewi yang terkenal dalam sejarah mitologi Romawi. Dewi ini diasosiasikan dengan cinta kecantikan, identik dengan Afrodit dan Etruscan deity Turan dari mitologi Yunani. Penggambaran Venus merupakan gabungan di antara keduanya. Selain itu terdapat dewi sejenis Tlahuizcalpantecuhtli di peradaban Aztek, atau Kukulkan d...

Padasuka, Cimahi Tengah, Cimahi

Untuk tempat lain yang bernama sama, lihat Padasuka. PadasukaKelurahanNegara IndonesiaProvinsiJawa BaratKotaCimahiKecamatanCimahi TengahKode Kemendagri32.77.02.1005 Kode BPS3277020005 Luas-Jumlah penduduk-Kepadatan- Padasuka adalah salah satu kelurahan di Kecamatan Cimahi Tengah, Kota Cimahi, Jawa Barat, Indonesia. Pranala luar (Indonesia) Keputusan Menteri Dalam Negeri Nomor 050-145 Tahun 2022 tentang Pemberian dan Pemutakhiran Kode, Data Wilayah Administrasi Pemerintahan, dan Pulau tah...

Sainte Marie de La Tourette

Convent in Rhône-Alpes, FranceConvent Sainte-Marie de La TouretteGeneral informationTypeConventArchitectural styleModernist, InternationalTown or cityÉveux, Rhône-AlpesCountryFranceCoordinates45°49′10″N 4°37′21″E / 45.81944°N 4.62250°E / 45.81944; 4.62250Construction started1956Completed1960Renovated1981Design and constructionArchitect(s)Le CorbusierWebsitewww.couventlatourette.com UNESCO World Heritage SiteOfficial nameThe Architectural Work of Le Corbu...

Last Year at Marienbad

1961 film by Alain Resnais Last Year at MarienbadFrench theatrical release posterFrenchL'Année dernière à Marienbad Directed byAlain ResnaisWritten byAlain Robbe-GrilletProduced by Pierre Courau Raymond Froment Starring Delphine Seyrig Giorgio Albertazzi Sacha Pitoëff CinematographySacha ViernyEdited by Henri Colpi Jasmine Chasney Music byFrancis SeyrigProductioncompanies Terra Film Société Nouvelle des Films Cormoran Precitel Como Films Argos Films Les Films Tamara Cinétel Silver Film...

Troon F.C.

Association football club in South Ayrshire, Scotland, UK Football clubTroon Football ClubFull nameTroon Football ClubNickname(s)The Seasiders or The SeagullsFounded1946 (1889 as Troon Academicals)GroundPortland Park, TroonCapacity2,000 (250 seated)ChairmanJim KirkwoodManagerJimmy KirkwoodLeagueWest of Scotland League Premier Division2022–23West of Scotland League Premier Division, 11th of 16WebsiteClub website Home colours Away colours Troon Football Club (also known as The Seasiders or Th...

Transport in Albania

Overview of the transport in Albania Highway network in Albania Transport in Albania consists of transport by land, water and air, which are predominantly under the supervision of the Ministry of Infrastructure of Albania. The development and improvement of the transport in the country remains among the most important priorities of the Government of Albania.[1] It has experienced significant changes and major growth and expansion in recent years, especially after the fall of communism...

Omar (album)

This article is about the 2005 album. For other uses, see Omar (disambiguation). 2005 studio album by Omar NaberOmarStudio album by Omar NaberReleased2005Recorded2004GenreRockLabelNika RecordsOmar Naber chronology Omar(2005) Kareem(2007) Singles from Omar Vse, kar si želišReleased: 2005 StopReleased: 2005 Omar, ti tesloReleased: 2005 Polje tvojih sanjReleased: 2005 Skrivaj sanjavaReleased: 2005 Ves tvoj svetReleased: 2005 Krasen danReleased: 2005 Omar is the debut studio album from ...

Ascanidi

Disambiguazione – Se stai cercando l'omonima stirpe nobile tedesca che governò la contea di Weimar-Orlamünde nell'attuale Turingia a partire dal XII secolo, vedi Ascanidi (linea di Weimar-Orlamünde). Disambiguazione – Ascani rimanda qui. Se stai cercando altri significati, vedi Ascani (disambigua). Questa voce o sezione sull'argomento storia di famiglia non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti. Puoi migliorare questa voce aggiungendo citazioni da ...

Phenol

Organic compound (C6H5OH) This article is about the molecule. For the group of chemicals that contains a phenol group, see Phenols. Carbolic acid redirects here. Not to be confused with carbonic acid or carboxylic acid. Phenol Names Preferred IUPAC name Phenol[1] Systematic IUPAC name Benzenol Other names Carbolic acidPhenolic acidPhenylic acidHydroxybenzenePhenic acidPhenyl alcoholPhenyl hydroxide Identifiers CAS Number 108-95-2 Y 3D model (JSmol) Interactive image ChEBI CHEBI:1...

伯努利定律

此條目需要补充更多来源。 (2020年4月24日)请协助補充多方面可靠来源以改善这篇条目，无法查证的内容可能會因為异议提出而被移除。致使用者：请搜索一下条目的标题（来源搜索：伯努利定律 — 网页、新闻、书籍、学术、图像），以检查网络上是否存在该主题的更多可靠来源（判定指引）。氣體流入文丘里計。減少流體壓力而增加動能，由圖中兩管水的高度差可以看...

中国国际航空

此條目疑似为广告或包含宣传性内容。 (2024年1月31日)请协助使用中立的观点重写这篇条目。明显的广告请加入{{Delete|G11}}來提请删除。此條目介紹的是由中国航空集团公司控股的中华人民共和国的载旗航空公司。关于1930年成立的、控股中国国际航空的特大型中国中央企业，请见「中国航空集团」。中国国际航空 IATA ICAO 呼号 CA CCA Air China/国航創立於1988年7月1日...

هيران

هيران الاسم الرسمي هيران موقع هيران الإحداثيات 4°47′00″N 45°27′00″E / 4.7833333333333°N 45.45°E / 4.7833333333333; 45.45 تقسيم إداري البلد الصومال المحافظة محافظة هيران العاصمة بلد وين خصائص جغرافية المساحة 90000 كيلومتر مربع معلومات أخرى رمز جيونيمز 57060 أيزو ...

Andronico Ducas

Disambiguazione – Se stai cercando il co-imperatore bizantino, vedi Andronico Ducas (figlio di Costantino X). Andronico Ducas (in greco Ανδρόνικος Δούκας?, Andronikos Doukas; in latino Andronicus Ducas; ... – 14 ottobre 1077) è stato un generale bizantino, protovestiarios e protoproedros dell'impero bizantino. Indice 1 Famiglia 2 Vita a corte 3 Battaglia di Manzicerta 4 Usurpazione al trono da parte dei Ducas 5 Ultimi anni 6 Famiglia 7 Bibliografia Famiglia And...

Pages

Pages Parte de iWork Logo de PagesInformación generalTipo de programa Procesador de textos / LayoutDesarrollador Apple Inc.Licencia No libreInformación técnicaPlataformas admitidas iOSVersionesÚltima versión estable 10 ( 31 de marzo de 2020)Archivos legibles PagesApple iWork Pages, version 9Archivos editables EPUBPagesApple iWork Pages, version 9Enlaces Sitio web oficial [editar datos en Wikidata] Pages es una aplicación de procesador de textos y layout desarrollada por Apple ...

Andries Knevel

Dutch journalist Andries KnevelKnevel in 1987Born (1952-02-13) 13 February 1952 (age 72)NaardenCareerStationEvangelische OmroepCountry Netherlands Andries Gerrit Knevel (born 13 February 1952, Naarden) is a Dutch theologian, author and presenter on Dutch radio and tv. From 1993 until 2006, he was television director of the Evangelische Omroep, a Dutch broadcasting organisation with Protestant foundations.[1] Dutch standup comedian Brigitte Kaandorp performed a satirical song...

150-an

2014 national road cycling championships

SinemArt

Carnegie Classification of Institutions of Higher Education

COVID-19 vaccination in Egypt

Jim Ray Hart

Casa de Fierro

Pabrik Gula Banjardawa

Helen Berry

Oromo Liberation Front

Visa requirements for Burundian citizens

City CarShare