A Legendre-polinomok a Legendre-differenciálegyenlet partikuláris megoldásai. Speciális valós vagy komplex polinomok, amik ortogonális függvényrendszert alkotnak. Fontos szerepet játszanak az elméleti fizikában, különösen a kvantummechanikában és az elektrodinamikában. Adrien-Marie Legendre francia matematikus után kapták nevüket.

Adva legyen az [a,b] intervallum, és egy rajta értelmezett ${\displaystyle \varrho (x)}$ súlyfüggvény. A ${\displaystyle P_{n}\in \mathbb {R} [X]}$ valós polinomsorozat ortogonális, ha teljesíti az

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}\varrho (x)\,P_{n}(x)\,P_{m}(x)\,{\rm {d}}x=0}$

ortogonalitási relációt minden ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle m\neq n}$-re.

Az ${\displaystyle I=[-1,1]}$ intervallum a ${\displaystyle \varrho (x)=1}$ súlyfüggvénnyel ugyanazokat az ortogonális polinomokat adja, mint amiket a Gram-Schmidt ortogonalizáló eljárás iteratív alkalmazása a ${\displaystyle (x^{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ monomokra, ha még az is teljesül, hogy ${\displaystyle P_{n}(1)=1}$.

A ${\displaystyle P_{n}(x)}$ Legendre-polinomok a Legendre-differenciálegyenlet megoldásai:

${\displaystyle (1-x^{2})\,f''-2x\,f'+n(n+1)\,f=0,\quad n\in \mathbb {N} _{0},}$

amelynek ekvivalens alakja

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[(1-x^{2})\,f'(x)\right]+n(n+1)\,f(x)=0}$

A differenciálegyenlet megoldásának általános alakja

${\displaystyle f(x)=A\,P_{n}(x)+B\,Q_{n}(x)}$

ahol ${\displaystyle P_{n}(x)}$ jelöli a Legendre-polinomokat, más néven az elsőfajú Legendre-függvényeket, és ${\displaystyle Q_{n}(x)}$ a másodfajú Legendre-függvényeket, amelyek nem polinomok.

Az ${\displaystyle n}$-edik Legendre-polinom racionális együtthatós ${\displaystyle n}$-edfokú polinom. A Legendre-polinomok többféleképpen is számíthatók, és rekurzívan is előállíthatók.

Minden gyökük valós, és az I = [ − 1,1] intervallumban van. P_n(x) két gyöke között van egy gyöke P_n+1(x)-nek.

Továbbá

• ${\displaystyle P_{n}(1)=1}$
• ${\displaystyle P_{n}(-x)=(-1)^{n}\,P_{n}(x)}$
• ${\displaystyle P_{2\,n+1}(0)=0}$

A Legendre-polinomok teljes ortogonális rendszert alkotnak a ${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-1}^{1}f(x)g(x){\rm {d}}x}$ skalárszorzattal ellátott

${\displaystyle V:=L^{2}([-1,1];\mathbb {R} )}$ Hilbert-téren.

Az ortogonalitás azt jelenti, hogy

${\displaystyle \langle P_{n},P_{m}\rangle =0}$ minden ${\displaystyle m\neq n}$-re.

${\displaystyle \int \limits _{-1}^{1}P_{n}(x)P_{m}(x)\,dx\,=\,{\frac {2}{2n+1}}\delta _{nm}}$, ahol ${\displaystyle \delta _{nm}}$ a Kronecker-deltát jelöli.

A teljesség azt jelenti, hogy minden ${\displaystyle f\in V}$ függvény végtelen sorba fejthető a Legendre-polinomok szerint:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\,P_{n}(x)}$

a ${\displaystyle c_{n}={\frac {2\,n+1}{2}}\,\int \limits _{-1}^{1}f(x)\,P_{n}(x)\,{\rm {d}}x}$ együtthatókkal.

A fizikában és a technikai irodalomban sokszor disztribúciós értelemben tekintik a teljességet:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2\,n+1}{2}}\,P_{n}(x')\,P_{n}(x)=\delta (x'-x),}$

ahol ${\displaystyle \delta }$ a Dirac-deltát jelöli.

Minden ${\displaystyle x\in \mathbb {C} }$, ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$, ${\displaystyle |z|<1}$-re

${\displaystyle (1-2xz+z^{2})^{-1/2}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)z^{n}\ .}$

Itt a jobb oldali hatványsor konvergenciasugara 1.

Mindezek miatt a ${\displaystyle z\mapsto (1-2xz+z^{2})^{-1/2}}$ függvényt a ${\displaystyle P_{n}}$ Legendre-polinomok generátorfüggvénye.

${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}\,n!}}\cdot {\mathrm {d} ^{n} \over \mathrm {d} x^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right]}$

${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {(2n)!}{2^{n}(n!)^{2}}}\left[x^{n}-{\frac {n(n-1)}{2\cdot (2n-1)}}x^{n-2}+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot 4\cdot (2n-1)(2n-3)}}x^{n-4}\mp \cdots \right]}$

Minden ${\displaystyle x\in \mathbb {C} \setminus \{+1,-1\}}$-re

${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\left[x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cos \varphi \right]^{n}\,\mathrm {d} \varphi }$

A Legendre-polinomokra teljesülnek a következő rekurziók:

${\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)\,\,\,\,\,\quad \quad (n=1,2,\ldots )}$

${\displaystyle (x^{2}-1){\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}P_{n}(x)=nxP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)}$

Az első rekurzió n'=n+1 helyettesítéssel a következő alakba megy át:

${\displaystyle nP_{n}(x)=(2n-1)xP_{n-1}(x)-(n-1)P_{n-2}(x)\,\,\,\,\,\quad \quad (n=2,3,\ldots )}$

Differenciálással

${\displaystyle y'=nx^{n-1}=nx^{-1}y}$, illetve ${\displaystyle y^{(m)}=(n-m+1)x^{-1}y^{(m-1)}}$

Így adódik az a rekurzió, amely magába foglalja a Legendre-polinomok deriváltjait is:

${\displaystyle (n-m)P_{n}^{(m)}(x)=(2n-1)xP_{n-1}^{(m)}(x)-(n-1+m)P_{n-2}^{(m)}(x)\,\,\,\,\,\quad \quad (n,m=0,1,\ldots )}$

A kezdeti feltételek

${\displaystyle P_{m}^{(m)}(x)={(2m)! \over 2^{m}m!}}$ és ${\displaystyle P_{m+1}^{(m)}(x)={(2m+1)! \over 2^{m}m!}}$ .

${\displaystyle m=0}$-re ismét a fenti képlet adódik kezdeti feltételekkel együtt.

A generátorfüggvény szingularitás analíziséből a következő aszimptotikus formulákhoz juthatunk:

${\displaystyle P_{n}\left({\cos \theta }\right)\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi n\sin \theta }}}\sin \left({\left({n+{\frac {1}{2}}}\right)\theta +{\frac {\pi }{4}}}\right),}$

${\displaystyle P_{n}\left({\cosh \theta }\right)\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi n\sinh \theta }}}\sinh \left({\left({n+{\frac {1}{2}}}\right)\theta }\right),}$

amint ${\displaystyle n\to +\infty }$, rögzített ${\displaystyle \theta >0}$ számra.

Az első néhány Legendre-polinom:

${\displaystyle P_{0}(x)=1\,}$

${\displaystyle P_{1}(x)=x\,}$

${\displaystyle P_{2}(x)={\frac {1}{2}}(3x^{2}-1)}$

${\displaystyle P_{3}(x)={\frac {1}{2}}(5x^{3}-3x)}$

${\displaystyle P_{4}(x)={\frac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3)}$

${\displaystyle P_{5}(x)={\frac {1}{8}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)}$

A Legendre-polinomok rekurziós képletei a másodfajú Legendre-függvényekre is teljesülnek. Így az első Legendre-függvényből kiindulva

${\displaystyle Q_{0}(x)={\frac {1}{2}}\,\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)={\rm {artanh}}(x)}$

${\displaystyle Q_{1}(x)={\frac {x}{2}}\,\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)-1=x\,{\rm {artanh}}(x)-1}$

${\displaystyle Q_{2}(x)={\frac {3\,x^{2}-1}{4}}\,\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)-{\frac {3\,x}{2}}}$

${\displaystyle Q_{3}(x)={\frac {5\,x^{3}-3\,x}{4}}\,\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)-{\frac {5\,x^{2}}{2}}+{\frac {2}{3}}}$

• Abramowitz, M. ; Stegun, I. A. eds. (1972) Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover. (V. cap. 8 e cap. 22.)
• Byerly, WE (1893) An elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics with applications to problems in mathematical physics (cap. I e cap. V)
• Todhunter, I. (1875) An elementary treatise on Laplace's functions, Lamé's functions and Bessel's functions^{[halott link]}. MacMillan (v. pp. 7-117)
• Heine, E. (1878) Handbuch der Kugelfunctionen, Theorie und Anwendungen (primera parte). Reimer.
• Heine, E. (1881) Handbuch der Kugelfunctionen Theorie und Anwendungen (seconda parte). Reimer.
• I.S. Gradshteyn & I.M. Ryzhik - Table of Integrals, Series and Products, Alan Jeffrey and Daniel Zwillinger (eds.), Academic Press, ISBN 0-12-294757-6.
• Rogai, E. - Tabele şi formule matematice, Editura Tehnică, Bukarest, 1984