Komplex függvény

A matematikában komplex függvénynek nevezünk egy leképezést, ha értelmezési tartománya és értékkészlete egyaránt a komplex számok részhalmaza. Elsősorban a komplex analízis foglalkozik a komplex függvények jellemzésével.

Elemi tulajdonságok

  • Komplex függvények összege, különbsége, szorzata is komplex függvény az értelmezési tartományok metszetén.
  • Komplex függvények hányadosa is komplex függvény, de természetesen csak ott értelmezett, ahol a nevező nem nulla.
  • Komplex függvények kompozíciója is komplex függvény.

Példák

Elemi

Mivel minden valós szám egyben komplex is, a valós függvények triviális példái a komplex függvényeknek. Feltehetően a legegyszerűbb példák a valósrész- és a képzetesrész-operátorok, melyeket leggyakrabban Re illetve Im névvel illetnek:

A konjugátképzés is az elemibb komplex függvények közé tartozik:

Az elforgatás operátor a komplex számnak megfelelő síkvektort forgatja el az origó körül:

Komplex szám abszolútértéke valós szám, de a valós számok halmaza beágyazható a komplex számsíkba, így az abszolútértékképzés is tekinthető komplex függvénynek:

Algebrai

A komplex számok halmazán értelmezett aritmetikai műveletek (összeadás, kivonás, osztás és szorzás) segítségével is értelmezhetőek komplex függvények.

Központi szerepet játszanak a polinomfüggvények, melyek általános alakban a következő képlettel adhatóak meg:

Polinomfüggvények hányadosait racionális függvényeknek hívjuk. Ezek általános alakja a következő:

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Források


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