A valószínűségszámítás elméletében, és a statisztika területén a khí-eloszlás egy folytonos valószínűség eloszlás.^[1]

A khí-eloszlás standard normális eloszlású, független, véletlenszerű változók négyzetei összegének a négyzetgyöke.

A legismertebb példa a khí-eloszlásra, a normalizált molekuláris sebességek Maxwell eloszlása, 3 szabadságfokkal (egy szabadságfok , minden térbeli koordinátára).^[2]

Ha ${\displaystyle X_{i}}$ k független, normális eloszlású véletlenszerű változók, ${\displaystyle \mu _{i}}$ középértékkel, és ${\displaystyle \sigma _{i}}$ szórással, akkor a statisztika

${\displaystyle Y={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$

khí-eloszlású lesz. A khí-eloszlásnak a ${\displaystyle k}$ paramétere a szabadságfokok számát határozza meg (azaz a ${\displaystyle X_{i}}$ számát).

A valószínűségsűrűség-függvény:

${\displaystyle f(x;k)={\frac {2^{1-{\frac {k}{2}}}x^{k-1}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}{\Gamma ({\frac {k}{2}})}}}$

ahol ${\displaystyle \Gamma (z)}$ a gamma-függvény.

A kumulatív eloszlásfüggvény:

${\displaystyle F(x;k)=P(k/2,x^{2}/2)\,}$

ahol ${\displaystyle P(k,x)}$ a szabályozott gamma-függvény.

A momentum-generáló függvény:

${\displaystyle M(t)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right)+}$

${\displaystyle t{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right)}$

A karakterisztikus függvény:

${\displaystyle \varphi (t;k)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right)+}$

${\displaystyle it{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right)}$

ahol ${\displaystyle M(a,b,z)}$ Kummer hipergeometrikus függvénye.

A nyers momentumok:

${\displaystyle \mu _{j}=2^{j/2}{\frac {\Gamma ((k+j)/2)}{\Gamma (k/2)}}}$

ahol ${\displaystyle \Gamma (z)}$ a Gamma-függvény. Az első nyers momentumok:

${\displaystyle \mu _{1}={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!1)/2)}{\Gamma (k/2)}}}$

${\displaystyle \mu _{2}=k\,}$

${\displaystyle \mu _{3}=2{\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!3)/2)}{\Gamma (k/2)}}=(k+1)\mu _{1}}$

${\displaystyle \mu _{4}=(k)(k+2)\,}$

${\displaystyle \mu _{5}=4{\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!5)/2)}{\Gamma (k/2)}}=(k+1)(k+3)\mu _{1}}$

${\displaystyle \mu _{6}=(k)(k+2)(k+4)\,}$

ahol a jobb oldali kifejezések származtatása a gamma-függvényből ered:

${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)\,}$

Ezekből a kifejezésekből a következő összefüggéseket származtathatjuk:

Középérték:

${\displaystyle \mu ={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}}$

Szórásnégyzet:

${\displaystyle \sigma ^{2}=k-\mu ^{2}\,}$

Torzulás:

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{3}}}\,(1-2\sigma ^{2})}$

Többlet lapultság: ${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {2}{\sigma ^{2}}}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})}$

Az entrópia:

${\displaystyle S=\ln(\Gamma (k/2))+{\frac {1}{2}}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi _{0}(k/2))}$

ahol ${\displaystyle \psi _{0}(z)}$ a poligamma-függvény.

• Ha ${\displaystyle X\sim \chi _{k}(x)}$ akkor ${\displaystyle X^{2}\sim \chi _{k}^{2}}$ (Khí-négyzet eloszlás)
• ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\tfrac {\chi _{k}(x)-\mu _{k}}{\sigma _{k}}}{\xrightarrow {d}}\ N(0,1)\,}$ (normális eloszlás)
• If ${\displaystyle X\sim \chi _{1}(x)\,}$ then ${\displaystyle \sigma X\sim HN(\sigma )\,}$ (fél-normális eloszlás) for any ${\displaystyle \sigma >0\,}$
• ${\displaystyle \chi _{2}(x)\sim \mathrm {Rayleigh} (1)\,}$ (Rayleigh-eloszlás)
• ${\displaystyle \chi _{3}(x)\sim \mathrm {Maxwell} (1)\,}$ (Maxwell-eloszlás)
• ${\displaystyle \|{\boldsymbol {N}}_{i=1,\ldots ,k}{(0,1)}\|\sim \chi _{k}(x)}$ (Az n standard normális eloszlás változói normája, a khí-eloszlás k szabadságfokkal.
• a khí-eloszlás az általánosított gamma-eloszlás speciális esete.

Különböző khí and khí-négyzet eloszlások

Név	Statisztika
Khí-négyzet eloszlás	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$
nem centrális khí-négyzet eloszlás	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$
khí-eloszlás	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$
nem centrális khí-eloszlás	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$

• Statisztika
• Nakagami-eloszlás
• Norma
• Rayleigh-eloszlás
• Matematikai statisztika
• Khí-négyzet eloszlás
• Normális eloszlás
• Szórás
• Gamma-eloszlás