A hiperbolikus függvények a matematikában a szögfüggvényekhez hasonló függvények.

A két alapvető hiperbolikus függvény a hiperbolikus szinusz (jelölése sh vagy sinh) és a hiperbolikus koszinusz (jelölése ch vagy cosh), melyekből levezethető a hiperbolikus tangens (jelölése th vagy tanh) függvény a szögfüggvényekhez hasonlóan. Ugyanúgy számolható belőlük a hiperbolikus szekáns és a hiperbolikus koszekáns, mint trigonometrikus megfelelőikből a szekáns és a koszekáns. Ezeknek a függvényeknek az inverzei az area hiperbolikus függvények. Ezt az adott függvény neve elé tett area szó jelzi. Mindezek a függvények egyes szerzőknél latin nevükkel szerepelnek, mint sinus hyperbolicus, cosinus hyperbolicus, tangens hyperbolicus, cotangens hyperbolicus, secans hyperbolicus, cosecans hyperbolicus; illetve az area függvények: area sinus hyperbolicus, area cosinus hyperbolicus, area tangens hyperbolicus, area cotangens hyperbolicus, area secans hyperbolicus, area cosecans hyperbolicus.

Ahogy a (cos t, sin t) pontok egy kört határoznak meg, az az ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ egységkört, úgy a (ch t, sh t) pontok egy hiperbola jobb oldali félgörbéjét írják le, mely az ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$ egységhiperbolához tartozik. A kapcsolat a komplex számsíkon még nyilvánvalóbb, mivel ${\displaystyle (iy)^{2}=-y^{2}}$. Így például ${\displaystyle \cos(ix)=\operatorname {ch} x}$. A komplex hiperbolikus szinusz és hiperbolikus koszinusz az egész komplex számsíkon folytonosan definiált, sőt holomorf függvények. A többi hiperbolikus függvénynek pólusai vannak a képzetes tengelyen.

A hiperbolikus függvények azért is fontosak, mert több lineáris differenciálegyenlet megoldását fel lehet írni a használatukkal. Ilyen például derékszögű koordináta-rendszerben a súlya alatt lelógó kábel egyenlete. Alkalmazhatóak ezen kívül a Laplace-egyenlet megoldásánál, amely a fizika több területén – az elektromágnesség elméletében, hőátadásban, folyadékok dinamikájában és a speciális relativitáselméletben – is fontos.

Az egységhiperbola egyenlete ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$, így a két alapvető hiperbolikus függvény, a hiperbolikus koszinusz és a hiperbolikus szinusz:

${\displaystyle x=\operatorname {ch} (t),y=\operatorname {sh} (t)}$

Hasonló kapcsolatban állnak, mint a trigonometrikus függvények az egységkörrel:

${\displaystyle x=\cos(t),y=\sin(t):x^{2}+y^{2}=1}$

Itt ${\displaystyle \operatorname {sh} (A)}$ az egyenes és a hiperbola metszéspontjának ${\displaystyle y}$ koordinátája, és ${\displaystyle \operatorname {ch} (A)}$ az egyenes és a hiperbola metszéspontjának ${\displaystyle x}$ koordinátája. A ${\displaystyle \operatorname {th} (A)}$ értéke az ${\displaystyle y}$ koordináta az ${\displaystyle x=1}$ helyen, azaz az egyenes meredeksége.

Ha a területet integrálással számítjuk ki, akkor az exponenciális ábrázoláshoz jutunk, ami használható ekvivalens definícióként:

${\displaystyle \operatorname {sh} (z):={\frac {e^{z}-e^{-z}}{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {ch} (z):={\frac {e^{z}+e^{-z}}{2}}}$

Ez alapján a hatványsorok:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sh} (z)&=z+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}+{\frac {z^{7}}{7!}}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\operatorname {ch} (z)&=1+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+{\frac {z^{6}}{6!}}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}\,,\end{aligned}}}$

Itt ${\displaystyle n!}$ az ${\displaystyle n}$ szám faktoriálisa, vagyis az első ${\displaystyle n}$ pozitív egész szám szorzata. Szemben a ${\displaystyle \cos }$ és a ${\displaystyle \sin }$ hatványsorával, itt nincsenek negatív együtthatók.

• Minden valós számra ${\displaystyle \operatorname {sh} x}$ és ${\displaystyle \operatorname {ch} x}$ valós.
• A valós ${\displaystyle \operatorname {sh} x}$ függvény értékkészlete az összes valós szám; a valós ${\displaystyle \operatorname {ch} x}$ értékkészletébe az egynél nem kisebb valós számok tartoznak.
• A valós ${\displaystyle \operatorname {sh} x}$ függvény szigorúan monoton nő, és a nulla helyen inflexiós pontja van, ahol nullhelye is van.
• A valós ${\displaystyle \operatorname {ch} x}$ szigorúan monoton csökken az ${\displaystyle (-\infty ,0]}$ intervallumon, és szigorúan monoton nő az ${\displaystyle [0,\infty )}$ intervallumon. Globális minimumát az ${\displaystyle x=0}$ helyen éri el.
• A valós ${\displaystyle \operatorname {sh} x}$ függvény aszimptotikus függvényei ${\displaystyle a_{1}(x)={\frac {1}{2}}e^{x},\quad x\to \infty }$ és ${\displaystyle a_{2}(x)=-{\frac {1}{2}}e^{-x},\quad x\to -\infty }$. A valós ${\displaystyle \operatorname {ch} x}$ függvény aszimptotikus függvényei ${\displaystyle a_{1}(x)={\frac {1}{2}}e^{x},\quad x\to \infty }$ és ${\displaystyle a_{2}(x)={\frac {1}{2}}e^{-x},\quad x\to -\infty }$.
• Mivel ${\displaystyle \operatorname {sh} ,\operatorname {ch} \colon \mathbb {R} \mapsto \mathbb {R} }$, azért a komplex hiperbolikus függvénytulajdonságok a valós függvényekre is teljesülnek:

• Az ${\displaystyle \operatorname {sh} x}$ függvény páratlan, az ${\displaystyle \operatorname {ch} x}$ függvény páros.
• A függvények periodikusak, periódusuk ${\displaystyle 2\pi i}$. Ez a valós függvényeken nem látszik, mivel a periódus tisztán képzetes; tehát a valós függvények nem periodikusak.
• A következő szakaszok további összefüggéseket mutatnak be.

• Minden valós számra ${\displaystyle \operatorname {th} x}$ és minden nullától különböző valós számra ${\displaystyle \operatorname {cth} x}$ valós. A ${\displaystyle \operatorname {cth} x}$ függvény nem értelmezett nullában, ahol pólusa van.
• A valós ${\displaystyle \operatorname {th} x}$ értékkészlete ${\displaystyle -1<f\left(x\right)<1}$, a valós ${\displaystyle \operatorname {cth} x}$ függvényé ${\displaystyle \{-\infty <f\left(x\right)<-1\}\cup \{1<f\left(x\right)<+\infty \}}$.
• A valós ${\displaystyle \operatorname {th} x}$ függvénynek az ${\displaystyle x=0}$ helyen nullhelye van, ami inflexiós pont is.
• A valós ${\displaystyle \operatorname {th} x}$ függvény szigorúan monoton nő; ${\displaystyle \operatorname {cth} x}$ szigorúan monoton csökken, ha ${\displaystyle x<0}$, és szigorúan monoton csökken, ha ${\displaystyle x>0}$
• Nem periodikus, páratlan függvények.
• A valós ${\displaystyle \operatorname {th} x}$ aszimptotikus függvényei ${\displaystyle x\to +\infty \colon f\left(x\right)\to +1}$ és ${\displaystyle x\to -\infty \colon f\left(x\right)\to -1}$. A valós ${\displaystyle \operatorname {cth} x}$ függvény aszimptotikus függvényei ${\displaystyle x\to +\infty \colon f\left(x\right)\to +1}$ és ${\displaystyle x\to -\infty \colon f\left(x\right)\to -1}$

• Minden valós számra ${\displaystyle \operatorname {sech} x}$ és minden nullától különböző valós számra ${\displaystyle \operatorname {csch} x}$ valós. A ${\displaystyle \operatorname {csch} x}$ függvény nem értelmezett nullában, ahol pólusa van.
• A valós ${\displaystyle \operatorname {sech} x}$ függvény értékkészlete ${\displaystyle 0<f(x)\leq 1}$; a valós ${\displaystyle \operatorname {csch} x}$ függvényé ${\displaystyle -\infty <f(x)<+\infty \,;\,f(x)\neq 0}$.
• A valós ${\displaystyle \operatorname {sech} x}$ függvény szigorúan monoton nő, ha ${\displaystyle x<0}$, és szigorúan monoton csökken, ha ${\displaystyle x>0}$. A valós ${\displaystyle \operatorname {csch} x}$ függvény szigorúan monoton csökken, ha ${\displaystyle x<0}$, és szigorúan monoton csökken, ha ${\displaystyle x>0}$.
• Nem periodikusak. ${\displaystyle \operatorname {sech} x}$ páros, ${\displaystyle \operatorname {csch} x}$ páratlan.
• Mindkét függvénynek aszimptotája ${\displaystyle f(x)\to 0}$, ha ${\displaystyle x\to \pm \infty }$.
• A valós ${\displaystyle \operatorname {sech} x}$ függvény maximumát az ${\displaystyle x=0}$ pontban éri el. a valós ${\displaystyle \operatorname {csch} x}$ függvénynek nincsenek szélsőértékei.
• A valós ${\displaystyle \operatorname {sech} x}$ függvény inflexiós pontja az ${\displaystyle x=\pm \ln {(1+{\sqrt {2}})}}$ helyen vannak. A valós ${\displaystyle \operatorname {csch} x}$ függvénynek nincsenek inflexiós pontjai.

A hiperbolikus függvények:

• Hiperbolikus szinusz:

${\displaystyle \operatorname {sh} x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=-i\sin ix\!}$

• Hiperbolikus koszinusz:

${\displaystyle \operatorname {ch} x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=\cos ix\!}$

• Hiperbolikus tangens:

${\displaystyle \operatorname {th} x={\frac {\operatorname {sh} x}{\operatorname {ch} x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}=1-{\frac {2}{\mathrm {e} ^{2x}+1}}=-i\operatorname {tg} ix\!}$

• Hiperbolikus kotangens:

${\displaystyle \operatorname {cth} x={\frac {\operatorname {ch} x}{\operatorname {sh} x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}=1+{\frac {2}{\mathrm {e} ^{2x}-1}}=i\operatorname {ctg} ix\!}$

• Hiperbolikus szekáns:

${\displaystyle \operatorname {sch} x={\frac {1}{\operatorname {ch} x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}=\sec ix\!}$

• Hiperbolikus koszekáns:

${\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\operatorname {sh} x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}=i\,\csc \,ix\!}$

ahol ${\displaystyle i}$ az imaginárius egység.

A fenti definíciókban a komplex alakok az Euler-formulából adódnak.

${\displaystyle \operatorname {ch} ^{2}x\!\;-\operatorname {sh} ^{2}x=1}$

${\displaystyle \operatorname {ch} x\,\;+\operatorname {sh} x\,\,=e^{x}}$ (Euler-azonosság)

${\displaystyle \operatorname {ch} x\,\;-\operatorname {sh} x\,\,=e^{-x}}$

${\displaystyle \operatorname {ch} ({\operatorname {arsh} }(x))={\sqrt {x^{2}+1}}}$

${\displaystyle \operatorname {sh} ({\operatorname {arch} }(x))={\sqrt {x^{2}-1}}}$ (hiperbolikus egyenlet, a gemotriai definícióból közvetlenül adódik)

${\displaystyle \operatorname {sh} (-x)=-\operatorname {sh} x\,\!}$

${\displaystyle \operatorname {ch} (-x)=\operatorname {ch} x\,\!}$

Innen:

${\displaystyle \operatorname {th} (-x)=-\operatorname {th} (x)\,\!}$

${\displaystyle \operatorname {cth} (-x)=\operatorname {cth} (x)\,\!}$

${\displaystyle \operatorname {sch} (-x)=\operatorname {sch} \,x\,\!}$

${\displaystyle \operatorname {csch} (-x)=-\operatorname {csch} \,x\,\!}$

Látható, hogy a ch x és sch x páros, a többi páratlan függvény.

${\displaystyle \operatorname {sh} (z)=\operatorname {sh} (z+2\pi i)\quad {\text{ és }}\quad \operatorname {ch} (z)=\operatorname {ch} (z+2\pi i)}$,

így a többi hiperbolikus függvény is periodikus ${\displaystyle 2\pi i}$ szerint.

• ${\displaystyle \operatorname {sh} (z_{1}\pm z_{2})=\operatorname {sh} (z_{1})\cdot \operatorname {ch} (z_{2})\pm \operatorname {sh} (z_{2})\cdot \operatorname {ch} (z_{1})}$
• ${\displaystyle \operatorname {ch} (z_{1}\pm z_{2})=\operatorname {ch} (z_{1})\cdot \operatorname {ch} (z_{2})\pm \operatorname {sh} (z_{1})\cdot \operatorname {sh} (z_{2})}$
• ${\displaystyle \operatorname {th} (z_{1}\pm z_{2})={\frac {\operatorname {th} (z_{1})\pm \operatorname {th} (z_{2})}{1\pm \operatorname {th} (z_{1})\operatorname {th} (z_{2})}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {th} (\alpha +\beta )={\frac {\operatorname {th} \alpha +\operatorname {th} \beta }{1+\operatorname {th} \alpha \,\operatorname {th} \beta }}}$
• ${\displaystyle \operatorname {cth} (\alpha +\beta )={\frac {1+\operatorname {cth} \alpha \,\operatorname {cth} \beta }{\operatorname {cth} \alpha +\operatorname {cth} \beta }}}$

Speciálisan, ha ${\displaystyle y:=x}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sh} 2x&=2\cdot \operatorname {sh} x\operatorname {ch} x\ \\\operatorname {ch} 2x&=\operatorname {ch} ^{2}x+\operatorname {sh} ^{2}x=2\cdot \operatorname {ch} ^{2}x-1=2\cdot \operatorname {sh} ^{2}x+1\end{aligned}}}$

illetve, ha ${\displaystyle y:=2x}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sh} 3x&=4\cdot \operatorname {sh} ^{3}x+3\operatorname {sh} x\ \\\operatorname {ch} 3x&=4\cdot \operatorname {ch} ^{3}x-3\operatorname {ch} x\end{aligned}}}$

Összegzés:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sh} x\pm \operatorname {sh} y&=2\operatorname {sh} {\frac {x\pm y}{2}}\operatorname {ch} {\frac {x\mp y}{2}}\\\operatorname {ch} x+\operatorname {ch} y&=2\operatorname {ch} {\frac {x+y}{2}}\operatorname {ch} {\frac {x-y}{2}}\\\operatorname {ch} x-\operatorname {ch} y&=2\operatorname {sh} {\frac {x+y}{2}}\operatorname {sh} {\frac {x-y}{2}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sh} ^{2}x={\frac {1}{2}}{\Big (}\operatorname {ch} (2x)-1{\Big )}\\\operatorname {ch} ^{2}x={\frac {1}{2}}{\Big (}\operatorname {ch} (2x)+1{\Big )}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\operatorname {ch} }^{2}(z)-{\operatorname {sh} }^{2}(z)=1}$

${\displaystyle \operatorname {ch} z+\operatorname {sh} z\ =e^{z}}$

${\displaystyle \operatorname {ch} z-\operatorname {sh} z\ =e^{-z}}$

${\displaystyle \operatorname {sh} (\ln \varphi )={\tfrac {1}{2}}}$, ahol ${\displaystyle \varphi }$ az aranymetszés.

A hiperbolikus kotangensnek két fixpontja van, azaz két hely, ami megegyezik az ott felvett értékkel:

${\displaystyle \operatorname {cth} \,u=u}$, ahol ${\displaystyle u_{\pm }=\pm 1{,}19967864\dots }$ ((A085984 sorozat az OEIS-ben))

Ha ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ valós és képzetes rész, akkor teljesül, hogy:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sh} (x+i\,y)&=\cos y\,\operatorname {sh} x+i\sin y\,\operatorname {ch} x\\\operatorname {ch} (x+i\,y)&=\cos y\,\operatorname {ch} x+i\sin y\,\operatorname {sh} x\\\sin(x+i\,y)&=\sin x\,\operatorname {ch} y+i\cos x\,\operatorname {sh} y\\\cos(x+i\,y)&=\cos x\,\operatorname {ch} y-i\sin x\,\operatorname {sh} y\\\end{aligned}}}$

Például a harmadik és a negyedik egyenlőség levezethető a következőképpen:

Ha ${\displaystyle z=x+i\,y}$, akkor:

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(iz)&=\cos(x+i\,y)+i\sin(x+i\,y)\\&=\exp(i\,(x+i\,y))\\&=\exp(i\,x)\,\exp(i\,(i\,y))\\&=(\cos x\,\cos(i\,y)-\sin x\,\sin(i\,y))+i\,(\cos x\,\sin(i\,y)+\sin x\,\cos(i\,y))\\&=(\cos x\,\operatorname {ch} y-i\sin x\,\operatorname {sh} y)+i\,(\sin x\,\operatorname {ch} y+i\cos x\,\operatorname {sh} y)\\\end{aligned}}}$

Az együtthatók összehasonlításával:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(x+i\,y)&=\cos x\,\operatorname {ch} y-i\sin x\,\operatorname {sh} y\\\sin(x+i\,y)&=\sin x\,\operatorname {ch} y+i\cos x\,\operatorname {sh} y\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle \operatorname {th} (x+i\,y)={\frac {\operatorname {sh} (2x)}{\operatorname {ch} (2x)+\cos(2y)}}+i\,{\frac {\sin(2y)}{\operatorname {ch} (2x)+\cos(2y)}}}$

${\displaystyle \operatorname {th} (i\,y)=i\,\operatorname {th} y}$

${\displaystyle \operatorname {cth} (x+i\,y)={\frac {\operatorname {sh} (2x)}{\operatorname {ch} (2x)-\cos(2y)}}+i\,{\frac {-\sin(2y)}{\operatorname {ch} (2x)-\cos(2y)}}}$

${\displaystyle \operatorname {cth} (i\,y)=-i\,\operatorname {ctg} y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {sech} (x+\mathrm {i} y)={\frac {2\cosh(x)\cos(y)}{\cosh(2x)+\cos(2y)}}+\mathrm {i} {\frac {-2\sinh(x)\sin(y)}{\cosh(2x)+\cos(2y)}}\\&\operatorname {sech} (\mathrm {i} y)=\sec(y)\\&\operatorname {csch} (x+\mathrm {i} y)={\frac {2\sinh(x)\cos(y)}{\cosh(2x)-\cos(2y)}}+\mathrm {i} \;{\frac {-2\cosh(x)\sin(y)}{\cosh(2x)-\cos(2y)}}\\&\operatorname {csch} (\mathrm {i} y)=-\mathrm {i} \csc(y)\end{aligned}}}$

A szögfüggvények és a hiperbolikus függvények közötti kapcsolat:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sh} (x)&=\operatorname {tg} (\operatorname {gd} \,x)&=&\operatorname {tg} (\varphi )&\quad &{\text{(3)}}\\\operatorname {ch} (x)&=\sec(\operatorname {gd} \,x)&=&\sec(\varphi )\\\operatorname {th} (x)&=\sin(\operatorname {gd} \,x)&=&\sin(\varphi )&\quad &{\text{(4)}}\\\operatorname {sech} (x)&=\cos(\operatorname {gd} \,x)&=&\cos(\varphi )\\\operatorname {csch} (x)&=\operatorname {ctg} (\operatorname {gd} \,x)&=&\operatorname {ctg} (\varphi )\\\operatorname {cth} (x)&=\csc(\operatorname {gd} \,x)&=&\csc(\varphi )\\\end{aligned}}}$

ahol ${\displaystyle \operatorname {gd} }$ a Gudermann-függvény.

Függvény	${\displaystyle \operatorname {sh} }$	${\displaystyle \operatorname {ch} }$	${\displaystyle \operatorname {th} }$	${\displaystyle \operatorname {cth} }$	${\displaystyle \operatorname {sech} }$	${\displaystyle \operatorname {csch} }$
${\displaystyle \operatorname {sh} (x)=}$	${\displaystyle \operatorname {sh} (x)\,}$	${\displaystyle \operatorname {sgn}(x){\sqrt {\operatorname {ch} ^{2}(x)-1}}}$	${\displaystyle {\frac {\operatorname {th} (x)}{\sqrt {1-\operatorname {th} ^{2}(x)}}}}$	${\displaystyle {\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {\operatorname {cth} ^{2}(x)-1}}}}$	${\displaystyle \operatorname {sgn}(x){\frac {\sqrt {1-\operatorname {sech} ^{2}(x)}}{\operatorname {sech} (x)}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {csch} (x)}}}$
${\displaystyle \operatorname {ch} (x)=}$	${\displaystyle \,{\sqrt {1+\operatorname {sh} ^{2}(x)}}}$	${\displaystyle \,\operatorname {ch} (x)}$	${\displaystyle \,{\frac {1}{\sqrt {1-\operatorname {th} ^{2}(x)}}}}$	${\displaystyle \,{\frac {\left|\operatorname {cth} \right|}{\sqrt {\operatorname {cth} ^{2}(x)-1}}}}$	${\displaystyle \,{\frac {1}{\operatorname {sech} (x)}}}$	${\displaystyle \,{\frac {\sqrt {1+\operatorname {csch} ^{2}(x)}}{\left|\operatorname {csch} (x)\right|}}}$
${\displaystyle \operatorname {th} (x)=}$	${\displaystyle \,{\frac {\operatorname {sh} (x)}{\sqrt {1+\operatorname {sh} ^{2}(x)}}}}$	${\displaystyle \,\operatorname {sgn}(x){\frac {\sqrt {\operatorname {ch} ^{2}(x)-1}}{\operatorname {ch} (x)}}}$	${\displaystyle \,\operatorname {th} (x)}$	${\displaystyle \,{\frac {1}{\operatorname {cth} (x)}}}$	${\displaystyle \,\operatorname {sgn}(x){\sqrt {1-\operatorname {sech} ^{2}(x)}}}$	${\displaystyle \,{\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {1+\operatorname {csch} ^{2}(x)}}}}$
${\displaystyle \operatorname {cth} (x)=}$	${\displaystyle \,{\frac {\sqrt {1+\operatorname {sh} ^{2}(x)}}{\operatorname {sh} (x)}}}$	${\displaystyle \,\operatorname {sgn}(x){\frac {\operatorname {ch} (x)}{\sqrt {\operatorname {ch} ^{2}(x)-1}}}}$	${\displaystyle \,{\frac {1}{\operatorname {th} (x)}}}$	${\displaystyle \,\operatorname {cth} (x)}$	${\displaystyle \,{\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {1-\operatorname {sech} ^{2}(x)}}}}$	${\displaystyle \,\operatorname {sgn}(x){\sqrt {1+\operatorname {csch} ^{2}(x)}}}$
${\displaystyle \operatorname {sech} (x)=}$	${\displaystyle \,{\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {sh} ^{2}(x)}}}}$	${\displaystyle \,{\frac {1}{\operatorname {ch} (x)}}}$	${\displaystyle \,{\sqrt {1-\operatorname {th} ^{2}(x)}}}$	${\displaystyle \,{\frac {\sqrt {\operatorname {cth} ^{2}(x)-1}}{\left|\operatorname {cth} (x)\right|}}}$	${\displaystyle \,\operatorname {sech} (x)}$	${\displaystyle \,{\frac {\left|\operatorname {csch} (x)\right|}{\sqrt {1+\operatorname {csch} ^{2}(x)}}}}$
${\displaystyle \operatorname {csch} (x)=}$	${\displaystyle \,{\frac {1}{\operatorname {sh} (x)}}}$	${\displaystyle \,{\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {\operatorname {ch} ^{2}(x)-1}}}}$	${\displaystyle \,{\frac {\sqrt {1-\operatorname {th} ^{2}(x)}}{\operatorname {th} (x)}}}$	${\displaystyle \,\operatorname {sgn}(x){\sqrt {\operatorname {cth} ^{2}(x)-1}}}$	${\displaystyle \,\operatorname {sgn}(x){\frac {\operatorname {sech} (x)}{\sqrt {1-\operatorname {sech} ^{2}(x)}}}}$	${\displaystyle \,\operatorname {csch} (x)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {sh} x=\operatorname {ch} x\,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {ch} x=\operatorname {sh} x\,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {th} x=1-\operatorname {th} ^{2}x={\hbox{sch}}^{2}x=1/\operatorname {ch} ^{2}x\,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {cth} x=1-\operatorname {cth} ^{2}x=-{\hbox{csch}}^{2}x=-1/\operatorname {sh} ^{2}x\,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ {\hbox{csch}}x=-{\hbox{csch}}\ x\operatorname {cth} x\,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ {\hbox{sech}}x=-{\hbox{sech}}\ x\operatorname {th} x\,}$

A tangens hiperbolicus ${\displaystyle n}$-edik deriváltja

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} z^{n}}}\operatorname {th} z={\frac {2^{n+1}\mathrm {e} ^{2z}}{(1+\mathrm {e} ^{2z})^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}A_{n,k}\,\mathrm {e} ^{2kz}}$

ahol A_n,k Euler-számok.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {sech} \ x&=-\operatorname {sech} \ x\cdot \operatorname {th} \ x=-{\frac {\operatorname {sh} x}{\operatorname {ch} ^{2}x}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {csch} \ x&=-\operatorname {csch} \ x\cdot \operatorname {cth} \ x=-{\frac {\operatorname {ch} x}{\operatorname {sh} ^{2}x}}=-\operatorname {csch} \ x\cdot {\sqrt {1+\operatorname {csch} ^{2}x}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle \int \operatorname {sh} cx\,dx={\frac {1}{c}}\operatorname {ch} cx+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {ch} cx\,dx={\frac {1}{c}}\operatorname {sh} cx+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {th} cx\,dx={\frac {1}{c}}\ln |\operatorname {ch} cx|+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {cth} cx\,dx={\frac {1}{c}}\ln |\operatorname {sh} cx|+C}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {sech} x\ \mathrm {d} x&=\operatorname {arctg} \left(\operatorname {sh} x\right)+C\\\int \operatorname {csch} x\ \mathrm {d} x&=\ln \left|\operatorname {th} \,{\frac {x}{2}}\right|+C\end{aligned}}}$

A fenti kifejezésekben C az integrálás állandója.

Improprius integrál:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{\operatorname {ch} x}}=\pi .}$

A ${\displaystyle \operatorname {sh} }$ és ${\displaystyle \operatorname {ch} }$ függvények az

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}f(z)=f(z)}$

lineáris differenciálegyenlet alaprendszerét, más néven megoldásbázisát alkotják, ugyanúgy mint az ${\displaystyle e^{z}}$ és ${\displaystyle e^{-z}}$ függvények. Ha a két ${\displaystyle f_{i}(z)}$ függvény számára kezdeti feltételként előírjuk, hogy ${\displaystyle f_{1}(0)=0}$,${\displaystyle f_{1}'(0)=1}$ és ${\displaystyle f_{2}(0)=1}$,${\displaystyle f_{2}'(0)=0}$ legyen, akkor ezzel a ${\displaystyle \operatorname {sh} }$ és ${\displaystyle \operatorname {ch} }$ függvényeket választottuk. Ezeket a tulajdonságokat a definícióból is bizonyítani lehet.

A ${\displaystyle \operatorname {th} }$ függvény megoldja a következő differenciálegyenleteket

${\displaystyle f^{\prime }=1-f^{2}}$ vagy

${\displaystyle {\frac {1}{2}}f^{\prime \prime }=f^{3}-f=f(f^{2}-1)}$

az ${\displaystyle f(0)=0}$ és ${\displaystyle f^{\prime }(\infty )=0}$ kezdeti feltételekkel.

A hiperbolikus függvények Taylor-sorai:

${\displaystyle \operatorname {sh} x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$

${\displaystyle \operatorname {ch} x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}$

${\displaystyle \operatorname {th} x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {cth} x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi }$ (Laurent-sor)

${\displaystyle \operatorname {sch} \,x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi }$ (Laurent-sor)

ahol

${\displaystyle B_{n}\,}$ az n-ik Bernoulli-szám

${\displaystyle E_{n}\,}$ az n-ik Euler-szám

${\displaystyle \operatorname {th} x=\operatorname {sgn} x\left[1+\sum \limits _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}\,2\,\mathrm {e} ^{-2k|x|}\right]}$

${\displaystyle \operatorname {cth} x={\frac {1}{x}}+\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {2x}{k^{2}\pi ^{2}+x^{2}}}}$

A tangens hyperbolicus Taylor-sora így kezdődik:

${\displaystyle \operatorname {th} x=\sum \limits _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\cdot {\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}}\cdot B_{2n}\cdot x^{2n-1}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+\cdots }$

ahol

${\displaystyle B_{n}\,}$ az n-ik Bernoulli-szám. A konvergenciasugár ${\displaystyle \pi /2}$.

Legyen ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Ekkor minden komplex ${\displaystyle z}$-re:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {sh} z={\left({\frac {2}{i}}\right)}^{\!\!n-1}\,\prod \limits _{k=0}^{n-1}\operatorname {sh} {\frac {z+k\,\pi \,i}{n}}\\&\operatorname {ch} z=2^{n-1}\prod \limits _{k=0}^{n-1}\operatorname {ch} {\frac {z+\left(k-{\frac {n-1}{2}}\right)\,\pi \,i}{n}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {sh} x=x\cdot \prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{(k\pi )^{2}}}\right)\\&\operatorname {ch} x=\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {4x^{2}}{(2k-1)^{2}\pi ^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

Johann Heinrich Lambert képlete:

${\displaystyle \operatorname {th} x={\frac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{3+{\cfrac {x^{2}}{5+\ldots }}}}}}}$

Definiáljuk a következő halmazokat a komplex számokon:

${\displaystyle A:=\{z\in \mathbb {C} \mid -\pi /2<\operatorname {Im} \,z<\pi /2\}}$

${\displaystyle B:=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} \,z\neq 0\vee |\operatorname {Im} \,z|<1\}}$

Ekkor az ${\displaystyle \operatorname {sh} x}$ függvény bijektíven leképezi az ${\displaystyle A}$ sávokat a ${\displaystyle B}$ halmazokra.

Definiáljuk a következő halmazokat a komplex számokon:

${\displaystyle A:=\{z\in \mathbb {C} \mid 0<\operatorname {Im} \,z<\pi \}}$

${\displaystyle B:=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Im} \,z\neq 0\vee |\operatorname {Re} \,z|<1\}}$

Ekkor az ${\displaystyle \operatorname {ch} x}$ függvény bijektíven leképezi az ${\displaystyle A}$ sávokat a ${\displaystyle B}$ halmazokra.

A hiperbolikus függvények inverz függvényeit áreafüggvényeknek vagy inverz hiperbolikus függvényeknek nevezzük:

• áreaszinusz hiperbolikus és áreakoszinusz hiperbolikus
• áreatangens hiperbolikus és áreakotangens hiperbolikus
• áreaszekáns hiperbolikus és áreakoszekáns hiperbolikus

Az inverz függvényeket csak olyan leszűkítéseken lehet definiálni, ahol az adott függvény egyértelmű. Így a szinusz hiperbolikust nem kell leszűkíteni, de például a koszinusz hiperbolikust igen: a koszinusz hipőerbolikust az ${\displaystyle [0,+\infty [}$ korlátozva definiálják az área koszinusz hiperbolikust. Elemi módszerekkel kiszámolható, hogy:

${\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\ }$.

${\displaystyle \operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\ }$.

A tangens hiperbolicus bijektív ${\displaystyle \operatorname {th} \colon \mathbb {R} \rightarrow (-1,1)}$ függvény. Inverz függvénye az area tangens hiperbolicus, ami az ${\displaystyle (-1,1)}$ intervallumon értelmezett:

${\displaystyle \operatorname {artanh} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}.}$

Az area cotangens hiperbolicus:

${\displaystyle \operatorname {arcoth} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}}$

a ${\displaystyle (-1,1)}$ intervallumon kívül értelmezve.

• Az áreafüggvények grafikonja
• 
  áreaszinusz hiperbolikus
• 
  áreakoszinusz hiperbolikus
• 
  áreatangens hiperbolikus
• 
  áreakotangens hiperbolikus
• 
  áreaszekáns hiperbolikus
• 
  áreakoszekáns hiperbolikus

Az x y = 1 hiperbola x > 1 tartományban lévő tetszőleges pontja hiperbolikus háromszöget határoz meg, amelyben a hiperbolikus szög melletti oldal a ch értékkel egyenlő, míg a szöggel szemben fekvő oldal az sh-val. Azonban mivel a hiperbola (1,1) pontja az origótól √2 távolságra van, ezért az oldalak hosszát 1/√2 tényezővel kell szoroznunk, hogy a helyes eredményt kapjuk.

Mint ahogy a (cos x, sin x) pontok egy kört ( x² + y² = 1) határoznak meg, a (ch x, sh x) pontok az x² - y² = 1 egyenlő szárú hiperbola jobb oldali görbéjét írják le. Ez ezen a könnyen ellenőrizhető azonosságon:

${\displaystyle \operatorname {ch} ^{2}x-\operatorname {sh} ^{2}x=1\,}$

és azon alapul, hogy ch x > 0 minden x-re.

A hiperbolikus függvények periodikusak ${\displaystyle 2\pi i}$ komplex periódus szerint.

A x paraméter nem a kör középponti szöge, mint a szögfüggvényeknél, hanem a hiperbolikus „szög”, amelynek értéke a kétszerese annak a területnek, melyet az x tengely, a hiperbola és egy, a hiperbola (ch x, sh x) pontjából az origóba húzott egyenes határol.

A hiperbolikus függvényekre igen sok olyan azonosság érvényes, melyek hasonlóak a szögfüggvények azonosságaihoz. Az Osborne-szabály kimondja, hogy minden trigonometrikus azonosságot egy analóg hiperbolikus azonossággá lehet alakítani a következőképpen:

• lecseréljük a szögfüggvényt a hiperbolikus megfelelőjével és
• az sh * sh kifejezés előjelét megváltoztatjuk.

Néhány példa:

${\displaystyle \operatorname {sh} (x+y)=\operatorname {sh} x\operatorname {ch} y+\operatorname {ch} x\operatorname {sh} y\,}$

${\displaystyle \operatorname {ch} (x+y)=\operatorname {ch} x\operatorname {ch} y+\operatorname {sh} x\operatorname {sh} y\,}$

${\displaystyle \operatorname {th} (x+y)={\frac {\operatorname {th} x+\operatorname {th} y}{1+\operatorname {th} x\operatorname {th} y}}\,}$

A „kétszeres szög” képletek:

${\displaystyle \operatorname {sh} 2x\ =2\operatorname {sh} x\operatorname {ch} x\,}$

${\displaystyle \operatorname {ch} 2x\ =\operatorname {ch} ^{2}x+\operatorname {sh} ^{2}x=2\operatorname {ch} ^{2}x-1=2\operatorname {sh} ^{2}x+1\,}$

és a „fél-szög” képletek:

${\displaystyle \operatorname {ch} ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\operatorname {ch} x+1}{2}}}$ Megjegyzés: Ez megfelel a szögfüggvény párjának.

${\displaystyle \operatorname {sh} ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\operatorname {ch} x-1}{2}}}$ Megjegyzés: Ez megfelel a szögfüggvény párja szorozva (-1)-gyel.

Az ${\displaystyle \operatorname {sh} x}$ deriváltja ${\displaystyle \operatorname {ch} x}$, a ${\displaystyle \operatorname {ch} x}$ deriváltja pedig ${\displaystyle \operatorname {sh} x}$.

A tangens hyperbolicus számítható a ${\displaystyle \operatorname {th} x={\frac {\mathrm {e} ^{2x}-1}{\mathrm {e} ^{2x}+1}}}$ képlettel. Ez azonban nagy, illetve kis abszolútértékű helyeken gondot okoz:

• Nagy értékeknél túlcsordulás jön létre, habár az eredmény nagysága ezt nem indokolja
• Kis értékek esetén vészes kiegyszerűsödés adódik, így az eredmény pontatlan lesz.

Ekkor a következő közelítések alkalmazhatók:

• ${\displaystyle x}$ akkora pozitív szám, hogy ${\displaystyle {x}>k\cdot {\frac {\ln 10}{2}}}$. Ekkor

${\displaystyle \operatorname {th} x=+1}$, ahol ${\displaystyle k}$ a szignifikáns számjegyek száma az adott számtípusnál, például double esetén 16.

• ${\displaystyle x}$ nagy abszolútértékű negatív szám úgy, hogy ${\displaystyle {x}<-k\cdot {\frac {\ln 10}{2}}}$, ahol ${\displaystyle k}$ szerepe a nagy pozitív számnál szereplő ${\displaystyle k}$-hoz hasonló. Ekkor az előző esethez hasonlóan ${\displaystyle \operatorname {th} x=-1}$.
• ${\displaystyle x}$ abszolútértékben kicsi. Például, ha ${\displaystyle -0{,}1<x<+0{,}1}$, akkor ${\displaystyle \operatorname {th} x={\frac {\operatorname {sh} x}{\mathrm {e} ^{x}-\operatorname {sh} x}}}$,

ahol ${\displaystyle \operatorname {sh} x}$ jól közelíthető Taylor-sorának első néhány tagjával:

${\displaystyle \operatorname {sh} x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\dots }$

• A többi hely esetén marad az eredeti képlet:

${\displaystyle \operatorname {th} x={\frac {\mathrm {e} ^{2x}-1}{\mathrm {e} ^{2x}+1}}}$

Az ${\displaystyle f''(x)-f(x)=0\ }$ differenciálegyenlet megoldásai az

${\displaystyle f(x)=a\cdot \operatorname {sh} x+b\cdot \operatorname {ch} x}$, ahol ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$

alakú függvények.

Egy csak saját súlya által terhelt homogén lánc alakját hiperbolikus koszinusz függvénnyel lehet leírni. Ezt az alakot láncgörbének vagy katenoidnak hívják.

Egy x irányú Lorentz-transzformáció ${\displaystyle \lambda }$ rapiditása segítségével a transzformáció mátrixa így írható le:

${\displaystyle L={\begin{pmatrix}\operatorname {ch} \lambda &-\operatorname {sh} \lambda &0&0\\-\operatorname {sh} \lambda &\operatorname {ch} \lambda &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

Látható a hasonlóság a forgatómátrixszal, amivel a négydimenziós Lorentz-transzformációk és a forgatások közötti hasonlóság is felismerhető.

A hiperbolikus szinusz és koszinusz a kozmológiában is előfordul. Egy lapos univerzumban, mely lényegében csak anyagot és sötét energiát tartalmaz (és ezáltal a mi univerzumunk közelítése), a skálafaktorok növekedését leíró összefüggés:

${\displaystyle a(t)=\left({\sqrt {\frac {1-\Omega _{\Lambda ,0}}{\Omega _{\Lambda ,0}}}}\sinh \left({\frac {t}{t_{\mathrm {ch} }}}\right)\right)^{2/3}}$,

ahol ${\displaystyle t_{\mathrm {ch} }={\frac {2}{3{\sqrt {\Omega _{\Lambda ,0}}}H_{0}}}}$karakterisztikus időskála; ${\displaystyle H_{0}}$ aktuális Hubble-paraméter és ${\displaystyle \Omega _{\Lambda ,0}}$ a sötét energia sűrűségparamétere. Az anyag sűrűségparaméterének időbeli függőségénél a koszinusz hiperbolikusz bukkan fel:

${\displaystyle \Omega _{M}(t)=\cosh ^{-2}\left({\frac {t}{t_{\mathrm {ch} }}}\right)}$.

A tangens és a cotangens hyperbolicus használható arra, hogy az eltelt idő függvényében kiszámítsuk a légellenállásos esés sebességét, illetve turbulens áramlásban esik a tárgy (Newton-súrlódás). A koordináta-rendszert úgy rögzítjük, hogy a helytengely felfelé mutasson, tehát a térbeli mozgás tükörképeként. A sebesség az ${\displaystyle {\dot {v}}=-g+kv^{2}}$ differenciálegyenletből számítható, ahol ${\displaystyle g}$ nehézségi gyorsulás, ${\displaystyle k}$ pozitív konstans, melynek mértékegysége ${\displaystyle 1/m}$. A végsebesség ${\displaystyle v_{\mathrm {g} }=-{\sqrt {\frac {g}{k}}}<0}$, ami a sebesség ${\displaystyle t\to \infty }$ határértéke. Teljesül továbbá, hogy:

• az esés vagy hajítás kezdeti sebessége kisebb, mint a végsebesség: ${\displaystyle v(t)=v_{\mathrm {g} }\cdot \operatorname {th} \left({\sqrt {gk}}t+c\right)}$, ahol ${\displaystyle c=\operatorname {artanh} {\frac {v(0)}{v_{\mathrm {g} }}}\geq 0}$
• hajítás esetén a kezdősebesség nagyobb, mint a végsebesség: ${\displaystyle v(t)=v_{\mathrm {g} }\cdot \operatorname {cth} \left({\sqrt {gk}}t+c\right)}$, ahol ${\displaystyle c=\operatorname {arcoth} {\frac {v(0)}{v_{\mathrm {g} }}}>0}$

A speciális relativitáselméletben a ${\displaystyle v}$ sebesség és a ${\displaystyle \theta }$ rapiditás összefüggése ${\displaystyle v=c\cdot \operatorname {th} \theta }$, ahol ${\displaystyle c}$ a fénysebesség.

A kvantummechanikában egy kétállapotú rendszert ért termikus hatást írja le: Legyen ${\displaystyle n}$ az állapotokat ért összhatás, és ${\displaystyle E}$ az állapotok közötti energiakülönbség. Így a hatásszámok különbsége ${\displaystyle \delta n=n\cdot \operatorname {th} {\frac {E}{2k_{\mathrm {B} }T}}}$, ahol ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$ Boltzmann-állandó, és ${\displaystyle T}$ abszolút hőmérséklet.

Paramágnes mágnesesezésének leírásához fontos a Brillouin-függvény:

${\displaystyle B_{J}(x)={\frac {1}{J}}\left[\left(J+{\frac {1}{2}}\right)\operatorname {cth} \left(J\,x+{\frac {x}{2}}\right)-{\frac {1}{2}}\operatorname {cth} {\frac {x}{2}}\right]}$

A kozmológiában Egy lapos univerzumban, mely lényegében csak anyagot és sötét energiát tartalmaz (és ezáltal a mi univerzumunk közelítése), a Hubble-paraméter időbeli változását leíró összefüggés: ${\displaystyle H(t)=H_{g}\operatorname {cth} {\frac {t}{t_{ch}}}}$, ahol ${\displaystyle t_{ch}={\frac {2}{3H_{g}}}}$ karakterisztikus időskála, és ${\displaystyle H_{g}={\sqrt {\Omega _{\Lambda ,0}}}H_{0}}$ a Hubble-paraméter határértéke ${\displaystyle t\to \infty }$ esetén; ${\displaystyle H_{0}}$ a Hubble-paraméter kiinduláskori értéke, és ${\displaystyle \Omega _{\Lambda ,0}}$ a sötét energia sűrűségparamétere. A sötét energia sűrűségparaméterét pedig az ${\displaystyle \Omega _{\Lambda }(t)=\operatorname {th} ^{2}(t/t_{ch})}$. összefüggés írja le.

• Inverz hiperbolikus függvények
• Hiperbolikus függvények integráljainak listája
• Láncgörbe
• Euler-féle szám
• Gudermann-függvény

• Hyperbolic functions MathWorld megfelelő oldala
• GonioLab: Egységsugarú kör, szögfüggvények és hiperbolikus függvények szemléltetése.

• Ilja N. Bronstein: Taschenbuch der Mathematik. Deutsch (Harri).
• Yu. V. Sudorov. Inverse hyperbolic functions 

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Hyperbelfunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
• Ez a szócikk részben vagy egészben az Areafunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
• Ez a szócikk részben vagy egészben a Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
• Ez a szócikk részben vagy egészben a Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
• Ez a szócikk részben vagy egészben a Sekans hyperbolicus und Kosekans hyperbolicus című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.