Ehhez a szócikkhez további forrásmegjelölések, lábjegyzetek szükségesek az ellenőrizhetőség érdekében. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts a szócikk fejlesztésében további megbízható források hozzáadásával.

A Heine-tétel a matematikai analízisben, mind az intervallumon folytonos függvények elméletében, mind (általánosan a metrikus terek esetén) a kompakt halmazon folytonos függvények szempontjából fontos tétel. Azt mondja ki, hogy korlátos és zárt intervallumon (vagy kompakt halmazon) értelmezett folytonos függvény egyenletesen folytonos.

Korlátos, zárt intervallumon értelmezett valós értékű folytonos függvény egyenletesen folytonos.

Legyen ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény. Indirekten bizonyítunk. Tegyük fel, hogy ${\displaystyle f}$ nem egyenletesen folytonos. Ekkor teljesül, hogy létezik olyan ${\displaystyle \epsilon >0}$, melyre

${\displaystyle \forall \delta >0\quad \exists x,y\in [a,b]:|x-y|<\delta {\text{ melyekre }}|f(x)-f(y)|\geq \epsilon }$

Rögzítve ilyen ${\displaystyle \epsilon }$-t és véve egy ${\displaystyle (\delta _{n})}$ pozitív tagokból álló nullához konvergáló sorozatot, tetszőleges ${\displaystyle n}$ természetes számra a

${\displaystyle \{(x,y)\in [a,b]\times [a,b]:\,|x-y|<\delta _{n}\quad {\text{és}}\quad |f(x)-f(y)|\geq \epsilon \}}$

halmaz nem üres. A kiválasztási axióma alapján ekkor létezik olyan ${\displaystyle (x_{n})}$ és ${\displaystyle (y_{n})}$ számsorozat, hogy minden ${\displaystyle n}$ természetes számra

${\displaystyle |x_{n}-y_{n}|<\delta _{n}\quad {\text{és}}\quad |f(x_{n})-f(y_{n})|\geq \epsilon .}$

A Bolzano–Weierstrass-tétel miatt ekkor az ${\displaystyle (x_{n})}$ sorozatnak létezik konvergens részsorozata, hiszen a sorozat korlátos, lévén minden eleme az intervallumnak is eleme. Legyen az indexsorozat ${\displaystyle \sigma }$, mellyel ${\displaystyle (x_{n})\circ \sigma }$ konvergens. Hasonlóképpen ${\displaystyle (y_{n})\circ \sigma }$-nak is van konvergens részsorozata, legyen az ezt meghatározó indexsorozat ${\displaystyle \tau }$. Ekkor ugyanúgy, ahogy a ${\displaystyle (x_{n})}$ és ${\displaystyle (y_{n})}$ sorozatok különbség abszolút értéke, úgy a különbsége is nullsorozat, amiből következik, hogy a ${\displaystyle (x_{n})\circ \sigma \circ \tau =:(x'_{n})}$ és ${\displaystyle (y_{n})\circ \sigma \circ \tau =:(y'_{n})}$ sorozatok különbsége is nullsorozat, vagyis ugyanaz a határértékük; jelöljük ezt ${\displaystyle u}$-val. A határérték, a rendezés és az abszolútérték-függvény tulajdonságaiból következik, hogy

${\displaystyle |\lim f(x'_{n})-\lim f(y'_{n})|\geq \epsilon ,}$

holott a folytonosságra vonatkozó átviteli elvből az ${\displaystyle u}$-hoz konvergáló ${\displaystyle (x'_{n})}$ és ${\displaystyle (y'_{n})}$ sorozatok képsorozatainak ugyanoda (az ${\displaystyle f(u)}$ függvényértékhez) kellene konvergálnia. ■

Rögzítsünk egy tetszőleges ${\displaystyle \epsilon >0}$ számot. ${\displaystyle \epsilon /2}$-höz minden egyes ${\displaystyle x\in [a,b]}$ pont esetén ${\displaystyle f}$ folytonossága miatt létezik olyan ${\displaystyle B(x,\delta _{x})}$ nyílt környezet, hogy ${\displaystyle f(B(x,\delta _{x}))\subseteq B(f(x),\epsilon /2)}$. A ${\displaystyle (B(x,\delta _{x}/2))_{x\in [a,b]}}$ nyílt halmazokból álló halmazrendszer lefedi ${\displaystyle [a,b]}$-t, így a Borel–Lebesgue-tétel szerint létezik véges ${\displaystyle I}$ indexhalmazú ${\displaystyle S:=(B(x,\delta _{x}/2))_{x\in I}}$ részlefedés, mely még mindig lefedi ${\displaystyle [a,b]}$-t. Ekkor a

${\displaystyle \delta :=\min \limits _{x\in I}\{{\frac {\delta _{x}}{2}}\}}$

szám olyan, amilyen tulajdonságút az egyenletes folytonosság megkíván, ugyanis legyen ${\displaystyle u,v\in [a,b]}$, hogy ${\displaystyle |u-v|<\delta }$. Ekkor ${\displaystyle u}$-hoz létezik olyan ${\displaystyle x\in I}$, hogy ${\displaystyle u\in B(x,\delta _{x}/2)}$, így

${\displaystyle |v-x|\leq |u-v|+|u-x|<\delta +{\frac {\delta _{x}}{2}}\leq \delta _{x}}$

ezért a folytonosság miatt

${\displaystyle |f(u)-f(v)|\leq |f(u)-f(x)|+|f(v)-f(x)|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon }$■^[1]

Heine tétele tetszőleges metrikus térben is igaz, a következő formában.

Tétel – Heine tétele kompakt metrikus téren értelmezett folytonos függvényre – Ha az ${\displaystyle f:K\to N}$ metrikus terek között ható, kompakt halmazon értelmezett függvény folytonos, akkor egyenletesen folytonos.^[1]

A bizonyítás ugyanúgy zajlik, mint az egydimenziós esetben.

Egy másik típusú általánosítást kapunk, ha az egyenletes folytonosságot a következőképpen értelmezzük. A metrikus terek között ható ${\displaystyle f:M\to N}$ függvény egyenletes folytonos a ${\displaystyle H\subseteq M}$ halmazon, ha tetszőleges ${\displaystyle \epsilon }$ pozitív számra létezik ${\displaystyle \delta }$ pozitív szám, hogy minden ${\displaystyle (x,h)\in M\times H}$-ra ${\displaystyle d(x,h)<\delta }$ esetén ${\displaystyle d(f(x),f(h))<\epsilon }$. Ekkor a tétel így szól:

Tétel – Ha az ${\displaystyle f:M\to N}$ metrikus terek között ható függvény folytonos, akkor a ${\displaystyle K\subseteq M}$ kompakt halmazon egyenletesen folytonos.