A forgásparaboloid koordináta-rendszer a kétdimenziós parabolikus koordináták egy háromdimenziós általánosítása, és a paraboloid koordináta-rendszer speciális esete. A kétdimenziós koordináta-rendszerből annak szimmetriatengelye körüli megforgatásával keletkezik. Egy további általánosítás a parabolikus hengerkoordináta-rendszer, ami a ${\displaystyle z}$-tengely irányába való vetítéssel származtatható.

A Descartes-koordinátákkal kifejezve:

${\displaystyle x=\sigma \tau \cos \varphi }$

${\displaystyle y=\sigma \tau \sin \varphi }$

${\displaystyle z={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)}$

ahol a parabolák közös tengelye a ${\displaystyle z}$-tengely, ami egyben a forgatás tengelye is. Így a ${\displaystyle \phi }$ azimut definíciója:

${\displaystyle \operatorname {tg} \varphi ={\frac {y}{x}}}$

A konstans ${\displaystyle \sigma }$-jú felületek felfelé nyitott konfokális forgásparaboloidok:

${\displaystyle 2z={\frac {x^{2}+y^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}$

míg a konstans ${\displaystyle \tau }$-jú felületek lefelé nyitott konfokális paraboloidok:

${\displaystyle 2z=-{\frac {x^{2}+y^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}}$

Mindezen paraboloidok közös fókusza az origó.

A koordináta-rendszerrel asszociált Riemann-féle metrikus tenzor:

${\displaystyle g_{ij}={\begin{bmatrix}\sigma ^{2}+\tau ^{2}&0&0\\0&\sigma ^{2}+\tau ^{2}&0\\0&0&\sigma ^{2}\tau ^{2}\end{bmatrix}}}$

A skálázási tényezők:

${\displaystyle h_{\sigma }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}$

${\displaystyle h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}$

${\displaystyle h_{\varphi }=\sigma \tau }$

Látható, hogy a ${\displaystyle h_{\sigma }}$ és ${\displaystyle h_{\tau }}$ skálázási tényezők megegyeznek a parabolikus koordináta-rendszer skálázási tényezőivel. Az infinitezimális térfogatelem:

${\displaystyle dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{\varphi }\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi =\sigma \tau \left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi }$

és a Laplace-operátor:

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {1}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left(\sigma {\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left(\tau {\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \varphi ^{2}}}}$

A további differenciáloperátorok, mint ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ és ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ kifejezhetők a ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\varphi )}$ koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

• Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, 660. o. (1953). ISBN 0-07-043316-X 
• Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand, 185–186. o. (1956) 
• Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill, 180. o.. ASIN B0000CKZX7 (1961) 
• Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag, 96. o. (1967) 
• Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett, 114. o. (1992). ISBN 0-86720-293-9  Same as Morse & Feshbach (1953), substituting u_k for ξ_k.
• Moon P, Spencer DE. Parabolic Coordinates (μ, ν, ψ), Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, corrected 2nd ed., 3rd print, New York: Springer-Verlag, 34–36 (Table 1.08). o. (1988). ISBN 978-0-387-18430-2 

Ez a szócikk részben vagy egészben a Parabolic coordinates című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.