Tanulmányait a Bécsi Műszaki Egyetemen végezte, később a zürichi politechnikumba is beiratkozott, ahol a 19. század egyik legismertebb építészprofesszora, Gottfried Semper volt rá nagy hatással.[3] 1871-ben építészirodát nyitott Budapesten, legelső alkotása a fővárosban az 1877-ben átadott Haris-bazár volt, melyet Haris Gergely görög származású kereskedő számára tervezett. Az épület vasvázas tetőszerkezetű, üvegezett átjáróház, amelynek udvarán az üzleteket a keleti bazárok hangulatában készítették el. A Haris-bazárt 1910-ben lebontották.
Feszty 1878 és 1884 között több bérházat és palotát tervezett az akkortájt kiépülőben lévő Sugár úton (Andrássy út). A Csömöri úti Lóversenypálya épületegyüttese (1880) is az ő alkotása volt, ezt a Népstadion építésekor, 1948-ban lebontották. Feszty a társadalmi és politikai életbe is bekapcsolódott: a tatai választókerület képviselőjévé választották 1887-ben.
1886-ban tervpályázatot nyújtott be barátjával, gróf Esterházy Miklóssal Budapest ivóvízellátására. A tervek szerint az akkor 800 000 lakosú fővárosba Tatáról szállítottak volna napi 120 000 köbméter ivóvizet. Ennek megvalósításához 8 millió forintra lett volna szükség, melyben egy Duna-híd is szerepelt, amin keresztül Pest is ivóvízhez jutott volna.
1890-ben Feszty visszavonult az építészettől egészségi állapotára hivatkozva, és kibérelte Esterházy herceg 30 000 holdaskapuvári uradalmát. Nagy mennyiségű tőzeget talált a birtokon, amelyet papírgyártásra próbált felhasználni. Több találmánnyal is szabadalmaztatta gyártási eljárását.
Váratlanul érte a halál élete egyik igen termékeny időszakában, alig 54 éves korában. A Fiumei Úti Sírkertben helyezték nyugalomra, majd sírját 1953-ban áthelyezték az Új köztemetőbe (16/XI. parcella, I. sor, 1–2. szám).[4]
Ismert épületei
1874: Nagy-bérház, Budapest, Szent István tér 3.[5]
1875: Haris-bazár, Budapest, Haris köz (az épületet elbontották)[6][7]
13567 Eljárás világos vagy fehér papiranyagnak tőzeghez hasonló, de még el nem tőzegesedett növényi eredetű rosttömegből való előállítására
13001 Eljárás papíranyagnak tőzegből hasonló de még el nem tőzegezedett, növényi eredetű rosstömegből való előállítására
12412 Eljárás papíranyagnak tőzeghez hasonló, de még el nem tőzegesedett, növényi eredetű rosttömegekből való előállítására, kéregpapír, karton és csomagpapír gyártási czélokra
12156 Eljárás papírmasszának tőzeghez hasonló, de még el nem tőzegesedett növényi eredetű rosttömegekből való előállítására
12079 Eljárás világos vagy fehér papiranyagnak tőzegből való előállítására