Cavalieri-elv

A Cavalieri-elv szemléltetése

A Cavalieri-elv a geometriában, jelesül a térfogatszámításban használt eljárás. Lényege, hogy két test térfogata között állít fel egyenlőséget, így az egyébként nehezen számolható térfogatú testek esetén is kezelhető számításokat végezhetünk.

A tétel

Népszerű megfogalmazás szerint a Cavalieri-elv azt mondja ki, hogy ha két testet azonos síkokkal vágunk szeletekre, és ezen szeletek alapterülete egyenlő, akkor a két test térfogata egyenlő. Valójában azonban a tétel ennél erősebb.[* 1]

Állítás

Ha két test ugyanazon féltér határán található, az egyes síkmetszeteik páronként azonos területűek, és van olyan, a határt metsző egyenes a féltérben, amivel párhuzamos egyenesek testekkel való metszéspontjai a féltér határáig tartó szakaszt alkotnak, akkor a két testnek van térfogata, és ezek egyenlőek.

Bizonyítás[1]

Vegyünk két testet, amikre a tétel feltételei érvényesek. Osszuk fel mindkét test m magasságát n egyenlő részre, és ezeken a metszéspontokon át metsszük el a testeket párhuzamos síkokkal. A síkmetszetekre felfelé és lefelé állítsunk m/n magasságú, a metsző egyenesekkel párhuzamos tengelyű hengereket.[* 2] Ezek térfogata egyenlő lesz. A két testet páronként egybevágó hengerek sorozatával közelítjük. Ha a magasság felbontását finomítjuk, akkor ez az egyenlőség folyamatosan fennáll, tehát ha van a két testnek térfogata, akkor az feltétlenül egyenlő.

Igazoljuk hát, hogy van térfogatuk! Akármelyik testet nézzük, az eljárás révén a test térfogatát egy külső és egy belső hengersorral közelítjük. Ezek térfogata legyen V(O) és V(I)! Ekkor van olyan ε valós szám, hogy

ahol t a síkmetszet területe. Mivel ε a felosztástól függ, ezért

így határértékben a két térfogat megegyezik. Ebből következik, hogy a testnek van térfogata. QED

Alkalmazások

A Cavalieri-elvnek jellemző alkalmazása különféle testek térfogatának meghatározása.

Gömb térfogatának meghatározása

Adott egy r sugarú félgömb. Vegyünk fel a lapjával azonos síkon fekvő, r sugarú és magasságú egyenes hengert! A féltér határával párhuzamos, attól 0≤x≤r magasságban lévő metsző sík által a gömbből kimetszett kör sugara a Pitagorasz-tétel szerint

így a kör területe

Az első tag a henger síkmetszeteinek területét adja. Mivel x lineárisan nő 0-tól r-ig, ezért a második tag egy kúp síkmetszeteinek területe, amely középpontja a határoló félsíkon, a henger tengelyegyenesén van és alaplapja a henger felső alaplapja. Mindkét test esetében a határsíkra merőleges egyenesek a Cavalieri-elv által megkívánt tulajdonságúak, így a félgömb térfogata a henger megmaradó részének térfogatával egyenlő.

A henger térfogata

a kúpé

azért a két test különbségének térfogata

Ez a félgömb térfogata, a teljes gömb ennek a duplája, így

QED

Megjegyzések

  1. ↑ Sok esetben ilyen formában is használják, mivel a vizsgált esetekben a testek térfogatának létezése eleve biztosított.
  2. ↑ Pontosabban hengerszerű testeket, mivel az alaplap jellemzően nem kör.

Jegyzetek

  1. ↑ Dr. Pelle Béla. Geometria. Tankönyvkiadó, 282. o. (1974). ISBN 963 017 0746 6 

Források

Read other articles:

Canadian punk rock

The first punk rock bands in Canada emerged during the late 1970s, in the wake of the US bands Ramones, The New York Dolls, and Blondie, and the UK band Sex Pistols. The Viletones, the Diodes and the Demics were among the pioneers, together with the Skulls (featuring Joey who formed DOA and Wimpy (Brian Roy) who led the Subhumans) from Vancouver, and Hamilton's Teenage Head, whose records and live shows earned them the nickname Canada's Ramones. Vibrant local punk scenes sprung up in Toronto ...

 

Glenea citrina

Glenea citrina Klasifikasi ilmiah Kerajaan: Animalia Filum: Arthropoda Kelas: Insecta Ordo: Coleoptera Famili: Cerambycidae Subfamili: Lamiinae Tribus: Saperdini Genus: Glenea Spesies: Glenea citrina Glenea citrina adalah spesies kumbang tanduk panjang yang tergolong famili Cerambycidae. Spesies ini juga merupakan bagian dari genus Glenea, ordo Coleoptera, kelas Insecta, filum Arthropoda, dan kingdom Animalia. Larva kumbang ini biasanya mengebor ke dalam kayu dan dapat menyebabkan kerusakan ...

 

Pemilihan umum Gubernur Sulawesi Utara 2020

Pemilihan Umum Gubernur Sulawesi Utara 2020201520249 Desember 2020[1]Kandidat   Calon Olly Dondokambey Christiany Eugenia Paruntu Vonnie Anneke Panambunan Partai PDI-P Partai Golongan Karya NasDem Aliansi Daftar PDI-P Gerindra PKB PSI Daftar Golkar PAN Demokrat Pendamping Steven Kandouw Sehan Salim Landjar Hendry Corneles Mamengko Runtuwene Suara rakyat 821.503 491.457 125.627 Persentase 57.1% 34.16% 8.73% Logo Peta persebaran suara Peta Sulawesi yang menyoroti Sulawesi Uta...

Sisian

For a different village, formerly known as Sisian, see Hatsavan, Syunik. Town in Syunik, ArmeniaSisian ՍիսիանTownFrom top left: Saint Gregory Church of 689 • Sisian Town Hall • Ughtasar Petroglyphs • Shaki Waterfall • Vorotnavank • General view of Sisian • Sisian with Mt Mets Ishkhanasar • Vorotan River Coat of armsSisianShow map of ArmeniaSisianShow map of Syunik ProvinceCoordinates: 39°31′15″N 46°01′56″E / 39.5...

 

Alvameline

Chemical compound AlvamelineClinical dataATC codeNoneIdentifiers IUPAC name 3-(2-ethyltetrazol-5-yl)-1-methyl-5,6-dihydro-2H-pyridine CAS Number120241-31-8 YPubChem CID178030ChemSpider154980 YUNII4XFD7B36M6ChEMBLChEMBL131428 YCompTox Dashboard (EPA)DTXSID30152748 Chemical and physical dataFormulaC9H15N5Molar mass193.254 g·mol−13D model (JSmol)Interactive image SMILES n1nn(nc1\C2=C\CCN(C)C2)CC InChI InChI=1S/C9H15N5/c1-3-14-11-9(10-12-14)8-5-4-6-13(2)7-8/h5H,3-4,6-7H2,1-...

 

Pokémon Go live events

Real life gatherings for players of the augmented reality mobile game known as Pokemon Go Since its release in 2016, multiple real-life events and gatherings based on the augmented reality (AR) mobile game Pokémon Go have been held by its developer Niantic Labs outside of unofficial player gatherings. Typically, the events involve increased in-game rewards for participating players and are often held in cooperation with local organizations or governments. The common repeating events are the ...

Sentris Demokrat Internasional

Sentris Demokrat InternationalSingkatanCDITanggal pendirian1961TujuanDemokrasi KristenHumanisme integralDialog antar-agamaKantor pusatBrussels, BelgiaWilayah layanan Seluruh duniaJumlah anggota 73Bahasa resmi Prancis, Prancis dan SpanyolKetuaAndrés Pastrana ArangoAnak organisasiPemuda Sentris Demokrat InternasionalAfiliasiOrganisasi Demokrat Kristen Amerika (ODCA)Partai Rakyat Eropa (EPP)Institut Demokrat Nasional (NDI)Situs webidc-cdi.com Sentris Demokrat Internasional (Inggris: Centris...

 

James Ivory

James IvoryIvory pada acara Festival Film Internasional Venesia ke-48 tahun 1991LahirJames Francis Ivory7 Juni 1928 (umur 95)Berkeley, California, Amerika SerikatAlmamaterUniversitas OregonUniversitas California SelatanPekerjaanSutradara filmproduserpenulis skenarioTahun aktif1953–sekarangKota asalKlamath Falls, Oregon, Amerika SerikatPasanganIsmail Merchant (1961–2005) James Francis Ivory (lahir 7 Juni 1928) adalah seorang sutradara film, produser, dan penulis skenario as...

 

Pontiac Firebird

Cet article concerne la voiture de la marque Pontiac. Pour le championnat automobile Trans-Am, voir Trans-Am Series. Pontiac Firebird Marque Pontiac Années de production 1967 - 2002 Classe Pony car / Muscle car modifier  La Pontiac Firebird est un coupé sportif produit entre 1967 et 2002 en quatre générations distinctes. On peut facilement la confondre avec sa jumelle, la Chevrolet Camaro dont la Firebird est directement issue. Leur châssis est de type « F-Body » et...

Tuti Sutiawati

Tuti Sutiawati Istri Wakil Presiden Republik IndonesiaMasa jabatan11 Maret 1993 – 11 Maret 1998Wakil PresidenTry SutrisnoPendahuluRatu Emma NormaPenggantiHasri Ainun Besari Informasi pribadiLahir3 April 1940 (umur 84)Bandung, Hindia BelandaSuami/istriTry Sutrisno ​(m. 1961)​Anak7, termasuk Firman dan KuntoPekerjaanGuruSunting kotak info • L • B Tuti Sutiawati atau akrabnya disapa Mami Tuti (lahir 3 April 1940) adalah seorang guru asal...

 

Человек прямоходящий

† Человек прямоходящий Научная классификация Домен:ЭукариотыЦарство:ЖивотныеПодцарство:ЭуметазоиБез ранга:Двусторонне-симметричныеБез ранга:ВторичноротыеТип:ХордовыеПодтип:ПозвоночныеИнфратип:ЧелюстноротыеНадкласс:ЧетвероногиеКлада:АмниотыКлада:Синапсиды�...

 

Chloé Trespeuch

French snowboarder (born 1994) Chloé TrespeuchPersonal informationBorn (1994-04-13) 13 April 1994 (age 30)Bourg-Saint-Maurice, FranceHeight1.76 m (5 ft 9 in) Medal record Women's snowboarding Representing  France Olympic Games 2022 Beijing Snowboard cross 2014 Sochi Snowboard cross World Championships 2017 Sierra Nevada Team snowboard cross 2017 Sierra Nevada Snowboard cross 2023 Bakuriani Mixed team snowboard cross Winter Universiade 2015 Granada Snowboard cross Upd...

Mercedes-AMG R232

Artikel ini memiliki beberapa masalah. Tolong bantu memperbaikinya atau diskusikan masalah-masalah ini di halaman pembicaraannya. (Pelajari bagaimana dan kapan saat yang tepat untuk menghapus templat pesan ini) Artikel ini berisi konten yang ditulis dengan gaya sebuah iklan. Bantulah memperbaiki artikel ini dengan menghapus konten yang dianggap sebagai spam dan pranala luar yang tidak sesuai, dan tambahkan konten ensiklopedis yang ditulis dari sudut pandang netral dan sesuai dengan kebijakan ...

 

Смоленская епархия

Смоленская епархия Успенский собор в Смоленске Страна Россия Церковь Русская православная церковь Митрополия Смоленская Дата основания 1137 год Управление Главный город Смоленск Кафедральный собор Успенский Иерарх Митрополит Смоленский и Дорогобужский Исидор (Тупики�...

 

Harlequin (album)

1985 studio album by Dave Grusin and Lee RitenourHarlequinStudio album by Dave Grusin and Lee RitenourReleased1985 (1985)Recorded1985Studio Starlight Studio (Burbank California) Capitol Studios and Sunset Sound (Hollywood, California) GenreJazzLength46:38LabelGRPProducerDave Grusin, Lee RitenourDave Grusin chronology Banded Together(1984) Harlequin(1985) Cinemagic(1987) Lee Ritenour chronology Banded Together(1984) Harlequin(1984) Earth Run(1986) Harlequin is a collaborative stud...

Azerbaijani cuisine

Culinary traditions of Azerbaijan Part of a series on theCulture of Azerbaijan History People Languages Traditions Costume Folklore Mythology and folklore Cuisine Festivals Holidays Novruz Religion Art Carpet Literature Fairy tales Writers Dramatists and playwrights Music and performing arts Dance Theatre Media Radio Television Cinema Sport Monuments World Heritage Sites Architecture Architectural school of Nakhchivan Mosques Kümbet Symbols Flag Coat of arms National anthem  Azerbaijan...

 

Філософія

Частина серії проФілософіяLeft to right: Plato, Kant, Nietzsche, Buddha, Confucius, AverroesПлатонКантНіцшеБуддаКонфуційАверроес Філософи Епістемологи Естетики Етики Логіки Метафізики Соціально-політичні філософи Традиції Аналітична Арістотелівська Африканська Близькосхідна іранська Буддій�...

 

Golden West Broadcasting

Canadian radio broadcasting company Not to be confused with Golden West Broadcasters, former owner of Los Angeles television station KTLA. Golden West Broadcasting Ltd.Company typePrivateIndustryMediaFoundedAltona, Manitoba (1957)HeadquartersAltona, ManitobaArea servedWestern CanadaKey peopleElmer Hildebrand (CEO & President)Brett Adnum (COO)ProductsMedia, BroadcastingOwnerElmer HildebrandWebsitegoldenwest.ca Golden West Broadcasting Ltd.[1] is a Canadian radio and digital media c...

Burlington Towne Centre station

This article relies largely or entirely on a single source. Relevant discussion may be found on the talk page. Please help improve this article by introducing citations to additional sources.Find sources: Burlington Towne Centre station – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (July 2023) Burlington Towne CentreThe Burlington Town Centre station in April 2015.General informationLocationWest Broad StreetBurlington, New JerseyCoordinates40°4′38�...

 

Lucien Abraham

American college football coach Lucien AbrahamAbraham in uniform, c. 1950Adjutant General of ArkansasIn office1953–1955Preceded byBrig. Gen. John B. Morris, Jr.Succeeded byMaj. Gen. Sherman T. Clinger Personal detailsBorn(1902-02-01)February 1, 1902Arkadelphia, Arkansas, U.S.DiedJune 11, 1960(1960-06-11) (aged 58)Batesville, Arkansas, U.S.Resting placeOaklawn Cemetery, Batesville, Arkansas, U.S.SpouseMary Adeline BrownChildren2Alma materOuachita CollegeMilitary serviceAllegiance...