A Cauchy-féle integráltétel (vagy másként a komplex analízis főtétele) a komplex analízis alapvető jelentőségű tétele. Azt mondja ki, hogy egy egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett komplex deriválható függvény zárt görbe mentén vett integrálja 0.

Legyen ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ nyílt halmazon értelmezett komplex differenciálható függvény, ${\displaystyle T\subseteq U}$ egyszeresen összefüggő zárt és korlátos halmaz és legyen ${\displaystyle \gamma }$ olyan rektifikálható zárt görbe, mely ${\displaystyle T}$ határát paraméterezi. Ekkor

${\displaystyle \oint \limits _{\gamma }f(z)dz=0.}$

A tételt először Cauchy bizonyította abban a formában, hogy feltette, ${\displaystyle f}$ parciális deriváltjai folytonosak. Később Goursat igazolta, hogy ez a feltétel elhagyható. Goursat eredménye azért volt áttörés a komplex analízis történetében, mert kiderült, hogy a fenti tétel segítségével igazolható, hogy minden nyílt halmazon komplex differenciálható függvény deriváltja folytonos, sőt minden ilyen függvény analitikus, azaz végtelenszer differenciálható és Taylor-sora előállítja magát a függvényt. A nyílt halmazon komplex differenciálható függvények elméletében tehát elegendő a végtelen helyett egyetlen differenciálhatósági osztállyal foglalkozni.

Ha egy komplex függvénynek van primitív függvénye, akkor a Newton–Leibniz-tétel miatt ennek minden zárt görbére vett integrálja nulla. Például

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z^{2}}}}$

Primitív függvénye

${\displaystyle F(z)=-{\frac {1}{z}}}$

tehát minden a 0-t fel nem vevő ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {C} }$ görbére:

${\displaystyle \int \limits _{\gamma }{\frac {1}{z^{2}}}\;\mathrm {d} z=F(\gamma (b))-F(\gamma (a))=0}$

hiszen ${\displaystyle \gamma (a)=\gamma (b)}$.

A Cauchy-tétel azt mondja, hogy a körintegrál nulla volta akkor is bekövetkezhet, ha nincs feltétlenül a komplex függvénynek primitív függvénye, de reguláris és egyszeresen összefüggő tartományt hurkol körül a zárt görbe. Az

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}\,}$

függvénynek nincs globális primitív függvénye (hisz a logaritmus lenne az, ami a komplexeken nem egyértékű), ám reguláris és ha a nullát körül nem hurkoló görbére vesszük az integrálját, akkor az Cauchy tétele szerint nulla lesz. Például

${\displaystyle \int \limits _{|z-2i|=1}{\frac {1}{z}}\,\mathrm {d} z=0,}$

mert itt a görbe a ${\displaystyle 2i}$ középpontú, egységsugarú körív, míg

${\displaystyle \int \limits _{|z|=1}{\frac {1}{z}}\,\mathrm {d} z=\mathrm {ln} (e^{2\pi i})-\mathrm {ln} (e^{0})=2\pi i\neq 0,}$

ahol ${\displaystyle e^{0}}$ és ${\displaystyle e^{2\pi i}}$ ugyanannak a pontnak a logaritmus egymást követő két Riemann-levelén paraméterezett alakja.

• Járai Antal, Modern alkalmazott analízis, Typotex Kiadó, 2007, ISBN 978-963-9664-47-0, ISSN 1788-1811
• Komornik Vilmos: Valós analízis előadások I-II. Typotex Kiadó, 2003. ISBN 963-9548-21-9, ISBN 963-9548-22-7