Az Artin L-függvény az algebrai számelmélet egyik központi objektuma, ami számtestek egy Galois-bővítésének aritmetikai tulajdonságainak összességét kódolja egy analitikus objektumban (azaz egy függvényben). A számelmélet számos fontos kérdése megfogalmazható az Artin L-függvények viselkedése, speciálisan az egyes helyeken felvett értékein keresztül. Az Artin L-függvény általánosítja a Riemann ζ-függvény, a Dedekind ζ-függvény illetve a Dirichlet L-függvény fogalmát.

Legyen ${\displaystyle L/K}$ számtestek egy Galois-bővítése, és jelölje ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ illetve ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ az egészek gyűrűit bennük. Legyen ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}$ egy prímideál, és legyen ${\displaystyle {\mathfrak {P}}\subset {\mathcal {O}}_{L}}$ egy ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ fölötti prím; ekkor az ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {P}}}$ maradéktest egy véges test, az ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}}$ véges test egy Galois-bővítése. A bővítés Galois-csoportja ciklikus, és egy generátora a Frobenius-leképezés, ami az ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {P}}}$ egy elemét ${\displaystyle \mathrm {N} ({\mathfrak {P}})=\#({\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {P}})}$-edik hatványra emeli (ezt a kitevőt a ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ abszolút normájának nevezik).

Jelölje ${\displaystyle G_{\mathfrak {P}}}$ illetve ${\displaystyle I_{\mathfrak {P}}}$ a ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$-hez rendelt felbontási részcsoportot illetve inerciarészcsoportot. A ${\displaystyle G_{\mathfrak {P}}/I_{\mathfrak {P}}}$ faktorcsoportról a maradéktestek Galois-csoportjára képző természetes leképezés egy csoportizomorfizmus, így a faktorcsoport is ciklikus, és egy generátora a jobb oldali Frobenius-leképezés ősképe, jelölje ezt ${\displaystyle \mathrm {Frob} _{\mathfrak {P}}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{\mathfrak {P}}/I_{\mathfrak {P}}&\xrightarrow {\sim } \mathrm {Gal} \left({\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {P}}{\bigg /}{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}\right)\\\mathrm {Frob} _{\mathfrak {P}}&\mapsto \left(x\mapsto x^{\mathrm {N} ({\mathfrak {P}})}\right)\end{aligned}}}$

Legyen ${\displaystyle \rho :\mathrm {Gal} (L/K)\to \mathrm {GL} (V)}$ a Galois-csoport egy reprezentációja. Jelölje ${\displaystyle V^{I_{\mathfrak {P}}}}$ az inerciarészcsoport alatt invariáns vektorok alterét. A ${\displaystyle G_{\mathfrak {P}}/I_{\mathfrak {P}}}$ faktorcsoport hat a ${\displaystyle V^{I_{\mathfrak {P}}}}$ téren, így a

${\displaystyle \det \left(1-\mathrm {Frob} _{\mathfrak {P}}X\,|\,V^{I_{\mathrm {P} }}\right)}$

karakterisztikus polinom jóldefiniált. Továbbá megmutatható, hogy ez csak a ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ prímideáltól függ, és nem műlik a ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ prím megválasztásán.

Az ${\displaystyle L/K}$ bővítéshez és a ${\displaystyle \rho }$ reprezentációhoz tartozó Artin L-függvényt a következő képlet definiálja:^[1]

${\displaystyle L(L/K,\rho ,s)=\prod _{\mathfrak {p}}\det \left(1-\mathrm {Frob} _{\mathfrak {P}}\mathrm {N} ({\mathfrak {P}})^{-s}\,|\,V^{I_{\mathfrak {P}}}\right)^{-1}}$,

ahol ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ végigfut a K prímideáljain, és s egy komplex szám ${\displaystyle \Re (s)>1}$ valós résszel. A ${\displaystyle L(L/K,\rho ,s)}$ jelölésben a külső L a függvényt jelöli, a belső L a számtestet; a különbséget bizonyos források tipográfiai stilizálással hangsúlyozzák. Az egyes prímekhez tartozó tényezőkre gyakran Euler-faktor néven hivatkoznak, a Riemann illetve Dedekind-féle zéta-függvények Euler-szorzatalakjával való hasonlóság miatt.

A ${\displaystyle L(L/K,\rho ,s)}$ függvény abszolút és egyenletesen konvergens a ${\displaystyle \Re (s)>1+\delta }$ félsíkon bármely ${\displaystyle \delta >0}$-ra, és meromorf kiterjeszthető az egész komplex számsíkra.^[2] Mivel a komplex reprezentációkat meghatározza a karakterük, a függvényt gyakran ${\displaystyle L(L/K,\chi ,s)}$ jelöli, ahol ${\displaystyle \chi =\mathrm {Tr} (\rho )}$ a ${\displaystyle \rho }$ reprezentáció karaktere. A komplex Artin L-függvény funktoriális a testbővítésre illetve a karakterre nézve.^[3]

A triviális karakter esetében az Artin L-függvény megegyezik a K test Dedekind zéta-függvényével, és a fenti definícióban szereplő szorzat megegyezik a zétafüggvény Euler-szorzatalakjával. Bár a Dedekind zéta-függvény nem az Euler-szorzatalak mellett egy sor összegeként is definiálható, ez utóbbi tulajdonság nem terjed ki az Artin L-függvényekre.

Az osztálytestelméleten keresztül leírható az Artin L-függvények és a Hecke L-függvények közötti kapcsolat,^[4] ezen keresztül pedig az utóbbiak analitikus tulajdonságai átvihetők az Artin L-függvényekre.

Legyen p egy rögzített prímszám. A komplex Artin L-függvények p-adikus módszerekkel is tanulmányozhatók. A komplexből a p-adikus világba való átmenetet p-adikus interpolációnak nevezik. A p-adikus interpoláció alapgondolata az, hogy a fenti komplex Artin L-függvényből egy kis módosítással egy olyan függvény nyerhető, ami a p-adikusan „jól” viselkedik. Konkrétan a p prím feletti Euler-faktorok azok, amik p-adikusan „rosszul” viselkednek, ezért ezeket kell eltávolítani az Euler-szorzatból.

A p-adikus interpoláció elméletét Kubota és Leopoldt (1964) dolgozták ki a Riemann-féle zétafüggvényre.^[5] Az Artin L-függvényekre vonatkozó általánosítást Pierrette Cassou-Noguès (1979) illetve Deligne és Ribet (1980) adták meg teljesen valós számtestek bővítéseinek egydimenziós karakterei esetében.^[6][7] A magasabb dimenziós karakterekre vonatkozó általánosítás Greenberg (1983) munkája.^[8]

Az így kapott p-adikus Artin L-függvény ${\displaystyle L_{p}(\chi ,-)}$ egy ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\to \mathbb {C} _{p}}$ függvény, ha ${\displaystyle \chi \neq \mathbf {1} }$ nem a triviális karakter, és egy ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}-\{1\}\to \mathbb {C} _{p}}$ függvény, ha ${\displaystyle \chi =\mathbf {1} }$ a triviális karakter. Itt ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ a komplex p-adikus számok testét jelöli. Ha ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}\xrightarrow {\sim } \mathbb {C} }$ egy (nem kanonikus) testizomorfizmus, akkor a komplex Artin L-függvényekkel való kapcsolat a következő:

${\displaystyle L_{p}(\chi ,1-n)=L(L/K,\chi \omega ^{-n},1-n)\quad \forall n\geq 1}$,

ahol ${\displaystyle \omega }$ a p-adikus körosztási karakter véges része (a Teichmüller-karakter), és az egyenlőség az imént fixált testizomorfizmuson keresztül értendő.

A fenti p-adikus L-függvények központi szereppel bírnak a számtestek Iwasawa-elméletében. Az Iwasawa-elmélet alapvető felismerése, hogy véges testbővítések külön-külön való tanulmányozása helyett gyülölcsözőbb megközelítés ilyen bővítések végtelen családjait vizsgálni. Pontosabban olyan Galois-bővítésekről van szó, amiknek a Galois-csoportja a p-adikus egészek ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ additív csoportjával izomorf. Ilyenkor az Iwasawa-elmélet központi sejtése – ami bizonyos esetekben bebizonyított tétel – egy kapcsolatot ír le egyrészt az egyes véges bővítésekhez kapcsolt p-adikus L-függvények, másrészt a testbővítés közbülső testjeihez rendelt osztálycsoportok között. Ennél általánosabb kontextusban is lehet Iwasawa központi sejtésekről beszélni: ezek mindig egy analitikus objektum (itt egy p-adikus L-függvényt) és egy algebrai objektum (itt az osztálycsoportok) közötti kapcsolatot írnak le.

A fenti p-adikus L-függvények mind egy-egy karakterhez vannak csatolva. Ritter és Weiss (2004) bevezettek egy úgynevezett ekvivariáns p-adikus Artin L-függvényt, ami egy adott bővítés Galois-csoportjának összes karakterét egyszerre kezeli.^[9] Ezekkel az objektumokkal az ekvivariáns Iwasawa-elmélet foglalkozik.

A komplex Artin L-függvények a priori meromorfak a komplex számsíkon, így természetesen merül fel a kérdés, hogy milyen szingularitásokkal bírnak. Ha ${\displaystyle \chi =\mathbf {1} }$ a triviális karakter, akkor ${\displaystyle L(L/K,\mathbf {1} ,s)=\zeta _{K}(s)}$ a Dedekind-féle zéta-függvény: ennek egyszeres pólusa van ${\displaystyle s=1}$-nél, és mindenütt másutt holomorf. Az Artin-sejtés azt mondja ki, hogy ha ${\displaystyle \chi \neq \mathbf {1} }$ nem a triviális karakter, akkor ${\displaystyle L(L/K,\rho ,s)}$ egész függvény.^[10] Az Artin-sejtés bizonyítva van abban az esetben, amikor az L/K bővítés Galois-csoportja Abel-csoport. Nem Abel-csoportokra a az Artin-sejtés nyitott probléma.

Ha ${\displaystyle \chi }$ egy lineáris karakter, akkor Cassou-Noguès és Deligne–Ribet munkájából következik, hogy a p-adikus Artin L-függvény kifejezhető egy ${\displaystyle G_{\chi }(T)/H_{\chi }(T)}$ hányadosként. Itt ${\displaystyle G_{\chi }(T)\in {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} _{p}(\chi )}[[T]]}$ egy ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} _{p}(\chi )}}$ fölötti formális hatványsor, ahol ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} _{p}(\chi )}}$ azon ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}(\chi )}$ test egészeinek gyűrűje, ami ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$-ből ${\displaystyle \chi }$ értékeinek adjungálásával jön létre. A ${\displaystyle H_{\chi }(T)\in {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} _{p}(\chi )}[T]}$ nevező pedig egy explicit leírható legfeljebb elsőfokú polinom. Greenberg magasabb dimenziós karakterekre való kiterjesztésében ez az eredmény annyiban változik, hogy ilyenkor ${\displaystyle G_{\chi }(T)\in \mathrm {Quot} ({\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} _{p}(\chi )}[[T]])}$ két hatványsor hányadosa: ez a Greenberg által alkalmazott Brauer-féle indukciós módszer velejárója. A Greenberg által megfogalmazott p-adikus Artin-sejtés erről a ${\displaystyle G_{\chi }(T)}$ hányadosról szól. Greenberg két sejtést tett:^[11]

1. ${\displaystyle G_{\chi }(T)\in \mathbb {Z} _{p}[[T]]\otimes _{\mathbb {Z} _{p}}\mathbb {C} _{p}}$;
2. ${\displaystyle G_{\chi }(T)\in {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} _{p}(\chi )}[[T]]}$

Greenberg megmutatta, hogy az első sejtés következik az Iwasawa központi sejtésből, amit ebben a kontextusban végül Wiles (1990) bizonyított be: ezzel az első sejtés is bizonyítva lett.^[12] A második, erősebb sejtést Ritter–Weiss (2004) igazolta.^[13]

• ↑ Pi. Cassou-Noguès 1979: Cassou-Noguès, Pierrette (1979), "Valeurs aux entiers négatifs des fonctions zêta et fonctions zêta p-adiques", Inventiones Mathematicae 51 (1): 29–59, ISSN 0020-9910, DOI 10.1007/BF01389911
• ↑ Deligne–Ribet 1980: Deligne, Pierre & Ribet, Kenneth A. (1980), "Values of abelian L-functions at negative integers over totally real fields", Inventiones Mathematicae 59 (3): 227–286, ISSN 0020-9910, DOI 10.1007/BF01453237
• ↑ Greenberg 1983: Ralph Greenberg (1983. március). „On p-adic Artin L-functions”. Nagoya Mathematical Journal 89, 77–87. o. DOI:10.1017/S0027763000020250. 
• ↑ Koblitz 1984: Koblitz, Neal (1984), p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, Graduate Texts in Mathematics, vol. 58, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96017-3
• ↑ Neukirch 1992: Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. (németül) Berlin: Springer-Verlag. 1992. ISBN 3-540-54273-6  
• ↑ Ritter–Weiss 2004: Jürgen Ritter, Alfred Weiss (2004. december 1.). „Toward equivariant Iwasawa theory, II”. Indagationes Mathematicae 15 (4), 549–572. o. DOI:10.1016/S0019-3577(04)80018-1. 
• ↑ Wiles 1990: Andrew Wiles (1990. december 9.). „The Iwasawa Conjecture for Totally Real Fields”. Annals of Mathematics 131 (3), 493–540. o.