PROFILPELAJAR.COM

Hozzávetőleges és valódi arany spirálok: a zöld spirált a négyzetek belsejét érintő negyedkörök alkotják, míg a vörös spirál egy arany spirál, a logaritmikus spirál egyik fajtája. Az egymást fedő részek sárga színnel jelennek meg. A nagyobb négyzet oldalától a következő kisebb négyzetig elhelyezkedő szakasz hossza az aranymetszés

A geometriában az arany spirál egy logaritmikus spirál, aminek a tágulási faktora, a b a φ-hez, az aranymetszéshez kötődik.^[1] Egyedi módon, egy arany spirál a φ faktorával szélesedik, vagy kerül távolabb kezdőpontjától minden negyedkör után, amit megtesz.

Képlet

Egy arany spirál poláris egyenlete ugyanaz, mint más logaritmikus spiráloké, de egy b különleges értékkel:^[2]

r=ae^{b\theta }\,

vagy

\theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),

ahol az $e$ a természetes logaritmusok alapja, az $a$ egy tetszőleges pozitív valódi állandó, és a $b$ pedig (amikor a $\theta$ egy derékszög (mindkét irányban egy negyed fordulat)):

e^{b\theta _{\mathrm {right} }}\,=\phi

Így, a $b$

b={\ln {\phi } \over \theta _{\mathrm {right} }}.

A $b$ számértéke függ attól, hogy a derékszöget 90 foknak, vagy $\textstyle {\frac {\pi }{2}}$ radiánnak vesszük; és mivel a szög mindkét irányban lehet, könnyebb a $b$ abszolútértékével leírni a képletet ( $b$ lehet ennek az értéknek az ellentettje is):

|b|={\ln {\phi } \over 90}=0,0053468\,

\theta

foknál;

|b|={\ln {\phi } \over \pi /2}=0,306349\,

\theta

radiánnál

Egy logaritmikus és egy arany spirál másik képlete:^[3]

r=ac^{\theta }\,

ahol a $c$ állandó

c=e^{b}\,

ami az arany spirálnál a $c$ ilyen értékeit adja meg:

c=\phi ^{\frac {1}{90}}\doteq 1,0053611

ha a $\theta$ fokokban mérendő, és

c=\phi ^{\frac {2}{\pi }}\doteq 1,358456

ha $\theta$ radiánokban mérendő.

Az arany spirál közelítései

Sok hasonló spirál van, ami megközelíti, de nem éri el az arany spirált.^[4] Ezeket sokszor tévesztik össze az arany spirállal.

Egy arany spirált meg lehet közelíteni egy „örvénylő téglalap-diagrammal”, ahol a négyzetek ellenkező sarkai, amiket kígyózó arany téglalapok alkotnak, negyedkörökkel vannak összekötve. A végeredmény nagyon hasonló egy valódi arany spirálhoz (lásd a jobb felső sarokban lévő képet).

Egy másik közelítés a Fibonacci-spirál, ami nem valódi logaritmikus spirál. Minden negyedfordulat után a Fibonacci-spirál nem φ-vel lesz szélesebb, hanem egy változó tényezővel, ami a Fibonacci-számok egymást követő tagjaival van összefüggésben. Az egymást követő tagok a Fibonacci-sorozatban megközelítik a φ-t, tehát a két spirál nagyon hasonló lesz. (lásd a jobb alsó sarokban lévő képet).

Spirálok a természetben

A természetben megközelítő logaritmikus spirálok előfordulhatnak (például a spirális galaxisok elágazásai). Néha azt mondják, hogy a nautilus kagylói az arany spirál mintájára tágulnak, és így nem csak a φ-hez kötődnek, de a Fibonacci-sorozathoz is. Az igazság az, hogy a nautilus-kagylók, és sok más puhatestű kagylói egy logaritmikus spirál tágulási mintáját követik, de egy megkülönböztethetően más szögben, mint ami az arany spirálnál van.^[5] Ez a minta engedi meg az élőlénynek, hogy alakváltozás nélkül növekedjen. Sok spirál fordul elő a természetben; az arany spirál csak egy speciális fajta.

Kapcsolódó szócikkek

Jegyzetek

↑ "Golden Spiral Archiválva 2019. július 28-i dátummal a Wayback Machine-ben" by Yu-Sung Chang, A wolfram-szemléltetés Projekt.
↑ Priya Hemenway. Isteni Metszés: Φ A phi a művészetben, természetben és a tudományban. Sterling Publishing Co, 127–129. o. (2005). ISBN 1402735227
↑ Klaus Mainzer. A természet szimmetriái: A természet és a tudomány filozófiájának kézikönyve. Walter de Gruyter, 45, 199–200. o. (1996). ISBN 3110129906
↑ Charles B. Madden. Fraktálok a zenében: a zenei analízis bevezető matematikája. High Art Press, 14–16. o. (1999). ISBN 0967172764
↑ Oberon Zell-Ravenheart. Az újonc varázsló kézikönyve. Career Press, 274. o. (2004). ISBN 1564147118 ^{[halott link]}

További információk

Falus Róbert: Az aranymetszés legendája; 2. jav. kiad.; Magyar Könyvklub, Budapest, 2001 (Tudományos kaleidoszkóp)
Kovács Ádám–Vámos Attila: Aranyháromszög. Aranymetszés, Fibonacci-sorozat, szabályos ötszög; Műszaki, Budapest, 2007